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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

sées ci-dessus, on trouvera la même formule générale d’où l’on était parti.

Pour rendre cette méthode plus sensible, nous allons l’exposer ici en peu de mots. La condition du maximum ou minimum donne, en général,

$\delta$_S$\mathrm {m} \int u\,ds=0,$

et, faisant passer le signe différentiel $\delta$ sous les signes _S et $\int$ (ce qui est évidemment permis par la nature de ces différents signes), on aura l’équation

_S$\mathrm {m} \int \delta (u\,ds)=0,$

ou bien, en exécutant la différentiation par $\delta ,$

_S$\mathrm {m} \int (ds\,\delta u+u\,\delta \,ds)=0.$

Je considère d’abord la partie

_S$\mathrm {m} \int ds\,\delta u\,;$

en mettant pour $ds$ sa valeur $u\,dt,$ elle devient

_S$\mathrm {m} \int u\,\delta u\,dt,$

ou, changeant l’ordre des signes _S et $\int ,$ qui sont absolument indépendants l’un de l’autre,

$\int dt$_S$\mathrm {m} u\,\delta u.$

Or l’équation générale du principe des forces vives donne (art. 34)

_S$\mathrm {m} u^{2}=2\mathrm {H} +2$_S$\mathrm {mH} ,$

$d\Pi$ étant égal à

$\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots \,;$

donc, différentiant suivant $\delta ,$ on aura

_S$\mathrm {m} u\,\delta u=-$_S$\mathrm {m} \,\delta \Pi =-$_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ).$