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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

De là résulte donc ce théorème général :

Dans le mouvement d’un système quelconque de corps animés par des forces mutuelles d’attraction, ou tendantes à des centres fixes, et proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, les courbes décrites par les différents corps, et leurs vitesses, sont nécessairement telles que la somme des produits de chaque masse par l’intégrale de la vitesse multipliée par l’élément de la courbe est un maximum ou un minimum, pourvu que l’on regarde les premiers et les derniers points de chaque courbe comme donnés, en sorte que les variations des coordonnées répondantes à ces points soient nulles.

C’est le théorème dont nous avons parlé à la fin de la première Section, sous le nom de Principe de la moindre action^[1].

40. Mais ce théorème ne contient pas seulement une propriété très remarquable du mouvement des corps, il peut encore servir à déterminer ce mouvement. En effet, puisque la formule _S $\mathrm {m} \int u\,ds$ doit être un maximum ou un minimum, il n’y a qu’à chercher, par la méthode des variations, les conditions qui peuvent la rendre telle ; et, en employant l’équation générale de là conservation des forces vives, on trouvera toujours toutes les équations nécessaires pour déterminer le mouvement de chaque corps. Car, pour le maximum ou minimum, il faut que la variation soit nulle et que, par conséquent, on ait

\delta

_S

\mathrm {m} \int u\,ds=0\,;

et de là, en pratiquant dans un ordre rétrograde les opérations expo-

↑ L’intégrale _S $\mathrm {m} \int u\,ds$ est un maximum ou un minimum, si on la compare aux intégrales analogues relatives à tout autre mouvement du système qui serait produit par les mêmes forces et dans lequel, malgré l’introduction de liaisons nouvelles laissant subsister le principe des forces vives, les positions initiales et finales resteraient les mêmes. Peut-être cet énoncé, qui résulte évidemment de la démonstration, n’est-il pas rendu assez explicite dans le texte. (J. Bertrand.)

On pourra consulter, au sujet de ce principe, un article d’Olinde Rodrigues inséré dans la Correspondance de l’École Polytechnique, t. III, p. 159, et les Vorlesungen über Dynamik de Jacobi. G. D.

[1] L’intégrale _S $\mathrm {m} \int u\,ds$ est un maximum ou un minimum, si on la compare aux intégrales analogues relatives à tout autre mouvement du système qui serait produit par les mêmes forces et dans lequel, malgré l’introduction de liaisons nouvelles laissant subsister le principe des forces vives, les positions initiales et finales resteraient les mêmes. Peut-être cet énoncé, qui résulte évidemment de la démonstration, n’est-il pas rendu assez explicite dans le texte. (J. Bertrand.)

On pourra consulter, au sujet de ce principe, un article d’Olinde Rodrigues inséré dans la Correspondance de l’École Polytechnique, t. III, p. 159, et les Vorlesungen über Dynamik de Jacobi. G. D.

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