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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

précédente prendra cette forme

$d$_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx}{dt}}\delta x+{\frac {dy}{dt}}\delta y+{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)-\delta$_S$\mathrm {m} u\,ds=0.$

Intégrons par rapport au signe différentiel $d,$ et dénotons cette intégration par le signe intégral ordinaire $\int \,;$ nous aurons

_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx}{dt}}\delta x+{\frac {dy}{dt}}\delta y+{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)-\int \delta$_S$\mathrm {m} u\,ds=\mathrm {const} .$

Or le signe $\int ,$ dans l’expression

$\int \delta$_S$\mathrm {m} u\,ds,$

ne pouvant regarder que les variables $u$ et $s$ et n’ayant aucune relation avec les signes _S et $\delta ,$ il est clair que cette expression est la même chose que celle-ci

$\delta$_S$\mathrm {m} \int u\,ds\,;$

et, si l’on suppose que, dans les points où commencent les intégrales $\int u\,ds,$ on ait

$\delta x=0,\qquad \delta y=0,\qquad \delta z=0,$

il faudra que la constante arbitraire soit nulle, parce que le premier membre de l’équation devient nul dans ces points. Ainsi on aura, dans ce cas,

$\delta$_S$\mathrm {m} \int u\,ds=$_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx}{dt}}\delta x+{\frac {dy}{dt}}\delta y+{\frac {dz}{dt}}\delta z\right).$

Donc, si l’on suppose de plus que les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ soient aussi nulles pour les points où les intégrales $\int u\,ds$ finissent, on aura simplement

$\delta$_S$\mathrm {m} \int u\,ds=0,$

c’est-à-dire que la variation de la quantité _S$\mathrm {m} \int u\,ds$ sera nulle ; par conséquent, cette quantité sera un maximum ou un minimum.