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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Or

${\begin{aligned}d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=&d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)\\&-dx\,d\,\delta x-dy\,d\,\delta y-dz\,d\,\delta z.\end{aligned}}$

Mais, parce que les caractéristiques $d$ et $\delta$ représentent des différences ou variations tout à fait indépendantes les unes des autres, les quantités $d\delta x,\,d\delta y,\,d\delta z$ doivent être la même chose que $\delta dx,\,\delta dy,\,\delta dz.$ D’ailleurs, il est visible que

$dx\,\delta dx+dy\,\delta dy+dz\,\delta dz={\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right).$

Donc on aura

$d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z=d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)-{\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right).$

Soit $s$ l’espace ou l’arc décrit par le corps $\mathrm {m}$ dans le temps $t\,;$ on aura

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},\qquad dt={\frac {ds}{u}}.$

Donc

$d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z=d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)-ds\,\delta \,ds\,;$

et, de là,

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z={\frac {d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)}{dt^{2}}}-u^{2}{\frac {\delta \,ds}{ds}}.$

Ainsi la formule générale dont il s’agit deviendra

_S$\mathrm {m} \left[{\frac {d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)}{dt^{2}}}-u^{2}{\frac {\delta \,ds}{ds}}-u\,\delta u\right]=0,$

ou, en multipliant tous les termes par l’élément constant $dt={\frac {ds}{u}}$ et remarquant que $u\,\delta \,ds+ds\,\delta u=\delta (u\,ds),$

_S$\mathrm {m} \left[{\frac {d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)}{dt}}-\delta (u\,ds)\right]=0.$

Comme le signe intégral _S n’a aucun rapport aux signes différentiels $d$ et $\delta ,$ on peut faire sortir ceux-ci hors de celui-là ; et l’équation