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SECONDE PARTIE. — SECTION III.
laquelle fait voir que la vitesse de rotation par rapport à l’axe des
c’est-à-dire parallèlement au plan de l’impulsion, demeure toujours la même.
§ VI. — Propriétés relatives à la moindre action.
39. Nous allons maintenant considérer le quatrième principe, celui de la moindre action.
En nommant
la vitesse de chaque corps
du système, on a
![{\displaystyle u^{2}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c2a014a9c3cb4cf7a046967e67cc0d86df92cb)
et l’équation des forces vives (art. 34) devient
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {u^{2}}{2}}+\Pi \right)=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3fdd7aab71ae89056e51a88854d9edfd1d57de)
laquelle, étant différentiée par rapport à la caractéristique
donne
S![{\displaystyle m(u\delta u+\delta \Pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d7b4d6f58b04313aab75a00d600784d65bb2b7)
Or,
étant une fonction de
on a
![{\displaystyle \delta \Pi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54a0c6451bb49186746085d7949798e361f4903)
Donc
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} u\delta u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efec20691b89deb0658c3c961409d28e11bed6d1)
Et cette équation aura toujours lieu, pourvu que
![{\displaystyle \mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775a67c045261a26c8af2f9a364757b005038282)
soit une quantité intégrable et que la liaison des corps soit indépendante du temps ; elle cesserait d’être vraie si l’une de ces conditions n’avait pas lieu.
Qu’on substitue maintenant l’expression précédente dans la formule générale de la Dynamique (sect. II, art. 5), elle deviendra
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z-u\delta u\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933a6b8d757399e3010397b8816d036e7e678417)