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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

laquelle fait voir que la vitesse de rotation par rapport à l’axe des $z,$ c’est-à-dire parallèlement au plan de l’impulsion, demeure toujours la même.

§ VI. — Propriétés relatives à la moindre action.

39. Nous allons maintenant considérer le quatrième principe, celui de la moindre action.

En nommant $u$ la vitesse de chaque corps $\mathrm {m}$ du système, on a

$u^{2}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$

et l’équation des forces vives (art. 34) devient

_S$\mathrm {m} \left({\frac {u^{2}}{2}}+\Pi \right)=\mathrm {H} ,$

laquelle, étant différentiée par rapport à la caractéristique $\delta ,$ donne

_S$m(u\delta u+\delta \Pi )=0.$

Or, $\Pi$ étant une fonction de $p,\,q,\,r,\ldots$ on a

$\delta \Pi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots .$

Donc

_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )=-$_S$\mathrm {m} u\delta u.$

Et cette équation aura toujours lieu, pourvu que

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

soit une quantité intégrable et que la liaison des corps soit indépendante du temps ; elle cesserait d’être vraie si l’une de ces conditions n’avait pas lieu.

Qu’on substitue maintenant l’expression précédente dans la formule générale de la Dynamique (sect. II, art. 5), elle deviendra

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z-u\delta u\right)=0.$