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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

$\mathrm {A,B,C}$ étant les moments des forces primitives d’impulsion et $\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire, qui doit être nécessairement positive.

Si, dans cette équation, on substitue pour $\mathrm {A,\,B,\,C}$ les expressions de l’article 11,

$\gamma \mathrm {C} ',\qquad \gamma '\mathrm {C} ',\qquad \gamma ''\mathrm {C} ',$

ou

$\mathrm {C} '\cos l,\qquad \mathrm {C} '\cos m,\qquad \mathrm {C} '\cos n,$

et pour ${\dot {\psi }},{\dot {\omega }},{\dot {\varphi }}$ celles de l’article 17,

${\dot {\theta }}\cos \lambda ,\qquad {\dot {\theta }}\cos \mu ,\qquad {\dot {\theta }}\cos \nu ,$

on aura

${\dot {\theta }}(\cos l\cos \lambda +\cos m\cos \mu +\cos n\cos \nu )=\mathrm {\frac {2H}{C'}} .$

Dans cette formule, $l,\,m,\,n$ sont les angles que l’axe perpendiculaire au plan invariable fait avec les axes fixes des $x,\,y,\,z,$ et $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ sont les angles que l’axe instantané de la rotation composée, dont ${\dot {\theta }}$ est la vitesse, fait avec les mêmes axes ; donc, si l’on nomme $\sigma$ l’angle que l’axe instantané de rotation fait avec l’axe perpendiculaire au plan invariable, on aura, par une formule connue,

$\cos \sigma =\cos l\cos \lambda +\cos m\cos \mu +\cos n\cos \nu$

et, par conséquent,

${\dot {\theta }}\cos \sigma =\mathrm {\frac {2H}{C'}} ,$

où la quantité $\mathrm {\frac {2H}{C'}}$ est une constante qui dépend de l’état initial ; ce qui donne un rapport, indépendant de la figure du corps, entre la vitesse réelle de rotation à chaque instant et la position de l’axe de rotation relativement au plan invariable.

Au reste, si l’on prend le plan des $xy$ de manière qu’il passe par le centre du corps et par la droite suivant laquelle se fait l’impulsion, les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ deviendront nulles (art. 16), et l’équation générale trouvée ci-dessus se réduira à

$\mathrm {C} {\dot {\varphi }}=2\mathrm {H} ,$