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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

rotations relatives aux trois axes ; et, comme ces trois rotations se composent en une rotation unique autour de l’axe spontané, il s’ensuit que la position de cet axe est toujours telle que la force vive de tout le système est la plus petite ou la plus grande, par rapport à ce même axe.

Euler avait démontré cette propriété de l’axe spontané de rotation pour les corps solides d’une figure quelconque ; on voit par l’analyse précédente qu’elle est générale pour un système de corps unis entre eux d’une manière invariable ou non, lorsque ces corps reçoivent des impulsions quelconques.

38. Lorsque le système est un corps solide qui peut tourner librement autour d’un point et qui n’est animé par aucune force accélératrice, on peut tirer de la combinaison de l’équation des forces vives avec celle des aires une relation digne d’être remarquée par sa simplicité, et qui ne l’avait pas encore été, que je sache, entre les vitesses de rotation ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ par rapport aux trois axes fixes des coordonnées $x,\,y,\,z.$ Dans ce cas, on a simplement (art. 17)

{\begin{aligned}dx=&{\dot {x}}dt=(z{\dot {\omega }}\,-y{\dot {\varphi }})dt,\\dy=&{\dot {y}}dt=(x{\dot {\varphi }}-z{\dot {\psi }})dt,\\dz=&{\dot {z}}dt=(y{\dot {\psi }}\,-x{\dot {\omega }})dt.\end{aligned}}

Donc, si l’on ajoute ensemble les trois dernières équations de l’article 9, après les avoir multipliées par ${\dot {\varphi }},{\dot {\omega }},{\dot {\psi }},$ qu’on fasse passer ces quantités sous le signe _S et qu’on substitue ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ à la place de leurs valeurs, on aura

_S

\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {A} {\dot {\psi }}+\mathrm {B} {\dot {\omega }}+\mathrm {C} {\dot {\varphi }}\,;

mais l’équation de l’article 34 donne, lorsque $\Pi =0,$

{\frac {1}{2}}

_S

\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {H} .

Donc on aura

\mathrm {A} {\dot {\psi }}+\mathrm {B} {\dot {\omega }}+\mathrm {C} {\dot {\varphi }}=2\mathrm {H} ,