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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

par la caractéristique $\delta$ ^[1], on aura

\delta {\dot {x}}=z\delta {\dot {\omega }}-y\delta {\dot {\varphi }},\qquad \delta {\dot {y}}=x\delta {\dot {\varphi }}-z\delta {\dot {\psi }},\qquad \delta {\dot {z}}=y\delta {\dot {\psi }}-x\delta {\dot {\omega }}.

Or les trois équations de l’article 14, étant multipliées respectivement par $\delta {\dot {\varphi }},\,\delta {\dot {\omega }},\,\delta {\dot {\psi }}$ et ajoutées ensemble, en faisant passer sous le signe _S les différentielles $\delta {\dot {\varphi }},\,\delta {\dot {\omega }},\,\delta {\dot {\psi }}$ qui sont les mêmes pour tous les corps, donnent, par la substitution des valeurs précédentes,

_S

\left[\mathrm {m} ({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}})+\mathrm {X} \delta {\dot {x}}+\mathrm {Y} \delta {\dot {y}}+\mathrm {Z} \delta {\dot {z}}\right]=0.

Mais l’équation de la force vive trouvée ci-dessus, étant différentiée relativement à $\delta$ ^[2], donne

_S

\left[2\mathrm {m} ({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}})+\mathrm {X} \delta {\dot {x}}+\mathrm {Y} \delta {\dot {y}}+\mathrm {Z} \delta {\dot {z}}\right]=0.

Donc on a, par la comparaison de ces deux équations,

_S

\mathrm {m} ({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}})=0

et, par conséquent,

\delta

_S

\mathrm {m} \left({\dot {x}}\,\!^{2}+{\dot {y}}\,\!^{2}+{\dot {z}}\,\!^{2}\right)=0,

ce qui fait voir que la force vive que le système acquiert par l’impulsion est toujours un maximum ou un minimum^[3], par rapport aux

↑ Ces variations, représentées par la caractéristique $\delta ,$ se rapportent aux changements qu’éprouvent les vitesses par suite de l’introduction de liaisons nouvelles, les forces motrices restant les mêmes. Ainsi, par exemple, dans le cas d’un corps solide, les variations $\delta$ peuvent résulter de l’introduction d’un axe fixe dans le système. (J. Bertrand.)
↑ Si l’on suppose que les variations désignées par $\delta$ soient finies, on aura, en différentiant l’équation des forces vives,
_S $\left\{2\mathrm {m} ({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}})+\mathrm {m} \left[(\delta {\dot {x}})^{2}+(\delta {\dot {y}})^{2}+(\delta {\dot {z}})^{2}\right]+\mathrm {X} \delta {\dot {x}}+\mathrm {Y} \delta {\dot {y}}+\mathrm {Z} \delta {\dot {z}}\right\}=0\,;$

et si l’on continue le raisonnement en ayant égard aux nouveaux termes introduits par cette hypothèse, on trouvera

$\delta$ _S $\mathrm {m} \left({\dot {x}}\,\!^{2}+{\dot {y}}\,\!^{2}+{\dot {z}}\,\!^{2}\right)=-$ _S $\mathrm {m} \left[(\delta {\dot {x}})^{2}+(\delta {\dot {y}})^{2}+(\delta {\dot {z}})^{2}\right],$

ce qui montre que l’accroissement des forces vives est négatif et égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par les différents points. (J. Bertrand.)
↑ Il résulte de la note précédente qu’elle est toujours un maximum. Cette remarque a été faite pour la première fois par M. Delaunay, qui la justifie d’une manière très différente. (Journal de Liouville, I^re série, t. V, p. 255.) (J. Bertrand.)

[1] Ces variations, représentées par la caractéristique $\delta ,$ se rapportent aux changements qu’éprouvent les vitesses par suite de l’introduction de liaisons nouvelles, les forces motrices restant les mêmes. Ainsi, par exemple, dans le cas d’un corps solide, les variations $\delta$ peuvent résulter de l’introduction d’un axe fixe dans le système. (J. Bertrand.)

[2] Si l’on suppose que les variations désignées par $\delta$ soient finies, on aura, en différentiant l’équation des forces vives,
_S $\left\{2\mathrm {m} ({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}})+\mathrm {m} \left[(\delta {\dot {x}})^{2}+(\delta {\dot {y}})^{2}+(\delta {\dot {z}})^{2}\right]+\mathrm {X} \delta {\dot {x}}+\mathrm {Y} \delta {\dot {y}}+\mathrm {Z} \delta {\dot {z}}\right\}=0\,;$

et si l’on continue le raisonnement en ayant égard aux nouveaux termes introduits par cette hypothèse, on trouvera

$\delta$ _S $\mathrm {m} \left({\dot {x}}\,\!^{2}+{\dot {y}}\,\!^{2}+{\dot {z}}\,\!^{2}\right)=-$ _S $\mathrm {m} \left[(\delta {\dot {x}})^{2}+(\delta {\dot {y}})^{2}+(\delta {\dot {z}})^{2}\right],$

ce qui montre que l’accroissement des forces vives est négatif et égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par les différents points. (J. Bertrand.)

[3] Il résulte de la note précédente qu’elle est toujours un maximum. Cette remarque a été faite pour la première fois par M. Delaunay, qui la justifie d’une manière très différente. (Journal de Liouville, I^re série, t. V, p. 255.) (J. Bertrand.)

[1]

[2]

[3]