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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

Cette équation, étant combinée avec les trois équations de l’article 14, donne lieu à une propriété de maximis et minimis relative à la ligne autour de laquelle le système tourne au premier instant, lorsqu’il a reçu une impulsion quelconque, ligne qu’on peut aussi nommer axe de rotation spontané.

Si l’on nomme $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les parties des vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ qui dépendent du changement de position respective des corps du système^[1], et qu’on les ajoute à celles qui résultent des rotations (art. 17), on aura les valeurs complètes de ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},$ exprimées ainsi :

{\dot {x}}=z{\dot {\omega }}-y{\dot {\varphi }}+\alpha ,\qquad {\dot {y}}=x{\dot {\varphi }}-z{\dot {\psi }}+\beta ,\qquad {\dot {z}}=y{\dot {\psi }}-x{\dot {\omega }}+\gamma .

Supposons maintenant qu’on différentie ces valeurs, en ne regardant que ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ comme variables, et qu’on dénote ces différentielles

↑ Ces quantités $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma$ ne sont pas suffisamment définies. Quel que soit, en effet, le déplacement d’un système variable de forme, on peut le regarder comme résultant d’un mouvement arbitraire imprimé au système solidifié, puis d’un second mouvement produisant le changement de position respective des points considérés. L’indétermination des quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ rend cet article 37 extrêmement obscur. Je dois avouer qu’il m’a été impossible de comprendre le raisonnement de Lagrange et d’attacher même aucun sens précis au théorème qui termine le paragraphe. Les notes qui suivent se rapportent donc au seul cas d’un système solide. (J. Bertrand.)

Tout en souscrivant aux remarques précédentes, nous proposerons l’interprétation suivante du résultat obtenu par Lagrange : si, dans les formules qui donnent ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},$ on considère $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ comme des fonctions données de $x,\,y,\,z$ et ${\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }},\,{\dot {\psi }},$ comme des arbitraires variables, cela revient à considérer tous les mouvements du système dans lesquels la déformation est la même au bout d’un instant infiniment petit ; car, si l’on cherche, par exemple, la dérivée de la distance de deux points du système par rapport au temps, on reconnaît aisément que cette dérivée ne dépend nullement des arbitraires ${\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }},\,{\dot {\psi }}$ et demeure, par conséquent, la même quand ces arbitraires prennent toutes les valeurs possibles. Le théorème de Lagrange peut donc s’énoncer comme il suit :

Si l’on compare le mouvement que prend le système sous les impulsions données à tous ceux dans lesquels la déformation serait la même au bout d’un instant infiniment petit, la force vive acquise par le système dans le mouvement naturel sera toujours un maximum ou un minimum.

Il résulte d’ailleurs de la démonstration donnée par M. Bertrand dans la note suivante que cette force vive sera toujours un maximum.

Au reste, la proposition de Lagrange est comprise comme cas particulier dans un théorème très général que l’on doit à Sturm, et que l’on trouvera énoncé dans une Note insérée aux Comptes rendus de l’Académie des Sciences, tome XIII, page 1045, et démontré dans un Mémoire posthume de Sturm publié par M. Prouhet. (Voir Sturm, Leçons de Mécanique, t. II.) G. D.

[1] Ces quantités $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma$ ne sont pas suffisamment définies. Quel que soit, en effet, le déplacement d’un système variable de forme, on peut le regarder comme résultant d’un mouvement arbitraire imprimé au système solidifié, puis d’un second mouvement produisant le changement de position respective des points considérés. L’indétermination des quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ rend cet article 37 extrêmement obscur. Je dois avouer qu’il m’a été impossible de comprendre le raisonnement de Lagrange et d’attacher même aucun sens précis au théorème qui termine le paragraphe. Les notes qui suivent se rapportent donc au seul cas d’un système solide. (J. Bertrand.)

Tout en souscrivant aux remarques précédentes, nous proposerons l’interprétation suivante du résultat obtenu par Lagrange : si, dans les formules qui donnent ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},$ on considère $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ comme des fonctions données de $x,\,y,\,z$ et ${\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }},\,{\dot {\psi }},$ comme des arbitraires variables, cela revient à considérer tous les mouvements du système dans lesquels la déformation est la même au bout d’un instant infiniment petit ; car, si l’on cherche, par exemple, la dérivée de la distance de deux points du système par rapport au temps, on reconnaît aisément que cette dérivée ne dépend nullement des arbitraires ${\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }},\,{\dot {\psi }}$ et demeure, par conséquent, la même quand ces arbitraires prennent toutes les valeurs possibles. Le théorème de Lagrange peut donc s’énoncer comme il suit :

Si l’on compare le mouvement que prend le système sous les impulsions données à tous ceux dans lesquels la déformation serait la même au bout d’un instant infiniment petit, la force vive acquise par le système dans le mouvement naturel sera toujours un maximum ou un minimum.

Il résulte d’ailleurs de la démonstration donnée par M. Bertrand dans la note suivante que cette force vive sera toujours un maximum.

Au reste, la proposition de Lagrange est comprise comme cas particulier dans un théorème très général que l’on doit à Sturm, et que l’on trouvera énoncé dans une Note insérée aux Comptes rendus de l’Académie des Sciences, tome XIII, page 1045, et démontré dans un Mémoire posthume de Sturm publié par M. Prouhet. (Voir Sturm, Leçons de Mécanique, t. II.) G. D.

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