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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

même en se choquant, parce que toutes les forces intérieures disparaissent des équations qui renferment ces deux principes.

L’équation de la conservation des forces vives contient tous les termes dus aux forces tant extérieures qu’intérieures et n’est indépendante que de l’action des corps provenant de leur liaison mutuelle. Aussi ce principe a-t-il lieu dans le mouvement des fluides non élastiques, tant qu’ils forment une masse continue et qu’il n’y a point de choc entre leurs parties et, si la quantité de forces vives est la même avant et après le choc des corps élastiques, c’est qu’on suppose que les corps se sont rétablis après le choc dans le même état où ils étaient auparavant ; de sorte que les termes $\int \mathrm {P} dp$ de l’expression $\Pi ,$ qui proviennent des forces $\mathrm {P}$ dues au ressort des corps, et dont la valeur est la plus grande lorsque la compression est à son terme, décroissent ensuite par degrés égaux pendant la restitution et redeviennent nuls à la fin du choc. C’est uniquement dans cette hypothèse que la conservation des forces vives peut avoir lieu dans le choc des corps élastiques.

Dans tout autre cas, lorsqu’il y a des changements brusques dans les vitesses de quelques corps du système, la force vive totale se trouve diminuée de la quantité des forces vives dues aux forces accélératrices qui ont pu produire ces changements ; et cette quantité peut toujours s’estimer par la somme des masses multipliées par les carrés des vitesses que ces masses ont perdues, ou sont censées avoir perdues dans les changements brusques des vitesses réelles des corps. C’est le théorème que M. Carnot avait trouvé dans le choc des corps durs.

37. On peut aussi, dans l’équation de l’article 11 de la Section précédente, supposer les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ proportionnelles aux vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ que les corps reçoivent par l’impulsion. On aura ainsi l’équation

_S

\left[\mathrm {m} \left({\dot {x}}\,\!^{2}+{\dot {y}}\,\!^{2}+{\dot {z}}\,\!^{2}\right)+\mathrm {X} {\dot {x}}+\mathrm {Y} {\dot {y}}+\mathrm {Z} {\dot {z}}\right]=0,

dans laquelle la partie _S $\mathrm {m} \left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$ représente la force vive de tout le système.