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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

Par la nature du centre de gravité, on a (article cité)

_S$\mathrm {m} {\frac {d\xi }{dt}}=0,\qquad$_S$\mathrm {m} {\frac {d\eta }{dt}}=0,\qquad$_S$\mathrm {m} {\frac {d\zeta }{dt}}=0.$

Donc, l’équation précédente étant différentiée et retranchée de celle de l’article 33, on aura

${\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}dx'+{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}dy'+{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}dz'$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}d\xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}d\eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}d\zeta \right)$

$+$_S$\mathrm {m} \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)=0.$

Mettons à la place de

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

la quantité équivalente

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,$

et substituons pour $dx,\,dy,\,dz$ les valeurs $dx'+d\xi ,\,dy'+d\eta ,$ $dz'+d\zeta \,;$ la dernière équation se réduira, en vertu des équations différentielles de l’article 3, à celle-ci

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}d\xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}d\eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}d\zeta \right)+$_S$\mathrm {m} \left(\mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\eta +\mathrm {Z} d\zeta \right)=0.$

qui est analogue à celle de l’article 33, mais où la quantité

$\mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\xi +\mathrm {Z} d\zeta$

ne sera intégrable qu’autant que les forces seront dirigées vers les corps mêmes du système et proportionnelles à des fonctions des distances. Dans ce cas, on aura

${\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d\xi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\eta ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {H} ,$

équation qui renferme la conservation des forces vives par rapport au centre de gravité.

36. Au reste, il n’en est pas du principe des forces vives comme de ceux du centre de gravité et des aires, qui ont lieu, quelle que soit l’action que les corps du système puissent exercer les uns sur les autres,