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SECONDE PARTIE. — SECTION III.
Par la nature du centre de gravité, on a (article cité)
S
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} {\frac {d\zeta }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ced37da776032de0cabaefcc50c004c11c82b75)
Donc, l’équation précédente étant différentiée et retranchée de celle de
l’article 33, on aura
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}d\xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}d\eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}d\zeta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47326711ed88f4778a23a509d61aff4c505da2bc)
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d4d4ef353376515239aadcdfae47995107705f)
Mettons à la place de
![{\displaystyle \mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775a67c045261a26c8af2f9a364757b005038282)
la quantité équivalente
![{\displaystyle \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb26b55908f216588c59207889854ba791c9063)
et substituons pour
les valeurs
la dernière équation se réduira, en vertu des équations différentielles
de l’article 3, à celle-ci
S
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left(\mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\eta +\mathrm {Z} d\zeta \right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7d29d1b113a7aea777ba99e5328432f1049815)
qui est analogue à celle de l’article 33, mais où la quantité
![{\displaystyle \mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\xi +\mathrm {Z} d\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa212dfc179375783a4c26310855482eb50e306d)
ne sera intégrable qu’autant que les forces seront dirigées vers les corps
mêmes du système et proportionnelles à des fonctions des distances.
Dans ce cas, on aura
S![{\displaystyle \mathrm {m} \left({\frac {d\xi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\eta ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82588d5e3d35d4be66bb791972bdaae91bfff1d)
équation qui renferme la conservation des forces vives par rapport au
centre de gravité.
36. Au reste, il n’en est pas du principe des forces vives comme de
ceux du centre de gravité et des aires, qui ont lieu, quelle que soit l’action
que les corps du système puissent exercer les uns sur les autres,