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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

sera le carré de sa vitesse, et

$\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)$

sa force vive. Donc

_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)$

sera la somme des forces vives de tous les corps, ou la force vive de tout le système ; et l’on voit, par l’équation dont il s’agit, que cette force vive est égale à la quantité

$2\mathrm {H} -2$_S$\Pi \mathrm {m} ,$

laquelle dépend simplement des forces accélératrices qui agissent sur les corps, et nullement de leur liaison mutuelle, de sorte que la force vive du système est à chaque instant la même que les corps auraient acquise si, étant animés par les mêmes puissances, ils s’étaient mus librement chacun sur la ligne qu’il a décrite. C’est ce qui a fait donner le nom de conservation des forces vives à cette propriété du mouvement.

35. Ce principe a lieu aussi lorsqu’on rapporte les mouvements des corps à leur centre de gravité ; car, en nommant, comme ci-dessus, (art. 3) $x',\,y',\,z'$ les trois coordonnées du centre de gravité, et faisant

$x=x'+\xi ,\qquad y=y'+\eta ,\qquad z=z'+\zeta ,$

les coordonnées auront leur origine dans le centre de gravité. On aura ainsi

${\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)$

$={\frac {1}{2}}\left({\frac {dx'^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz'^{2}}{dt^{2}}}\right)$_S$\mathrm {m} +{\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d\xi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\eta ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}\right)$

$+{\frac {dx'}{dt}}$_S$\mathrm {m} {\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {dy'}{dt}}$_S$\mathrm {m} {\frac {d\eta }{dt}}+{\frac {dz'}{dt}}$_S$\mathrm {m} {\frac {d\zeta }{dt}}.$