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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

Cette supposition n’est que particulière et ne peut fournir, par conséquent, qu’une seule équation ; mais, étant indépendante de la forme du système, elle a l’avantage de donner une équation générale pour le mouvement de quelque système que ce soit.

Substituant donc dans la formule de l’article 5 (Section précédente), à la place des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ les différentielles $dx,\,dy,\,dz,$ et, par conséquent aussi, les différentielles $dp,\,dq,\,dr,\ldots$ au lieu des variations $\delta p,\,\delta q,$ $\delta r,\ldots$ qui dépendent de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ on aura cette équation générale, pour quelque système de corps que ce soit,

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}dx+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dy+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dz+\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)=0.$

34. Dans le cas où la quantité

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

est intégrable, lequel a lieu lorsque les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ tendent à des centres fixes ou à des corps du même système et sont fonctions des distances $p,\,q,\,r,\ldots ,$ en faisant

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =d\Pi ,$

l’équation précédente devient

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}dx+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}dy+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}dz+d\Pi \right)=0,$

dont l’intégrale est

_S$\mathrm {m} \left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)+\Pi \right]=\mathrm {H} ,$

dans laquelle $\mathrm {H}$ désigne une constante arbitraire, égale à la valeur du premier membre de l’équation dans un instant donné.

Cette dernière équation renferme le principe connu sous le nom de conservation des forces vives. En effet, $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ étant le carré de l’espace que le corps parcourt dans l’instant $dt,$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$