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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

donc les équations précédentes donneront

${\dot {\psi }}\,\!'=0,\qquad {\dot {\omega }}\,\!'=0,\qquad {\dot {\varphi }}\,\!'=0,$

puisque les quantités $l,\,m,\,n$ ne peuvent jamais être nulles pour un corps de trois dimensions. D’où l’on doit conclure qu’il ne peut y avoir de mouvement de rotation si les moments primitifs sont nuls.

Quand, parmi les trois moments $\mathrm {A',\,B',\,C'} ,$ deux sont nuls, comme $\mathrm {B} '$ et $\mathrm {C} ',$ ce qui a lieu lorsque l’impulsion se fait dans le plan des $y'z',$ les deux vitesses de rotation ${\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ seront aussi nulles et le corps tournera autour de l’axe principal des $x'$ avec la vitesse ${\dot {\psi }}\,\!'.$ Or, par les formules de l’article 20, on a

$\mathrm {A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,$

à cause des équations de condition entre les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots \,;$ donc, faisant

$\mathrm {B} '=0,\qquad \mathrm {C} '=0,$

on aura

$\mathrm {A'={\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,$

et, par conséquent, $\mathrm {A} '$ sera constant ; donc, par la première équation, la vitesse ${\dot {\psi }}\,\!'$ sera aussi constante.

32. À l’égard des valeurs de $l',\,m',\,n',$ il sera facile de les déduire de celles de $l,\,m,\,n,\,f,\,g,\,h\,;$ car les expressions de $x,\,y,\,z$ en $x',\,y',\,z',$ en vertu des équations de condition (Part. I, sect. III, art. 10), donnent réciproquement

${\begin{aligned}x'=&\alpha x+\alpha 'y+\alpha ''z,\\y'=&\beta x\,+\beta 'y+\beta ''z,\\z'=&\gamma x\ +\gamma 'y+\gamma ''z.\end{aligned}}$

Or, en prenant les axes des $x',\,y',\,z'$ pour les axes principaux, on voit par l’article 21 que les quantités $\alpha ,\,\alpha ',\,\alpha ''$ sont identiques avec $\cos \lambda ,\,\cos \mu ,$ $\cos \nu ,$ que, pareillement $\beta ,\,\beta ',\,\beta ''$ seront identiques avec $\cos \lambda ',\,\cos \mu ',$ $\cos \nu ',$ et $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$ avec $\cos \lambda '',\,\cos \mu '',\,\cos \nu ''.$ Ainsi, en sub-