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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

du corps relativement à ces axes ; ils sont pour le mouvement de rotation ce que les simples masses sont pour le mouvement progressif, puisque c’est par ces moments qu’il faut diviser les moments des forces d’impulsion pour avoir les vitesses de rotation autour des mêmes axes.

C’est par la considération des plus grands et des plus petits moments d’inertie qu’Euler a trouvé les axes principaux ; maintenant, on les détermine ordinairement par les trois conditions

_S$xy\,\mathrm {Dm} =0,\qquad$_S$xz\,\mathrm {Dm} =0,\qquad$_S$yz\,\mathrm {Dm} =0.$

30. Puisqu’on est assuré, par l’analyse de l’article 27, que l’équation en $s$ (art. 25) a ses trois racines réelles, il sera toujours facile de les trouver en comparant cette équation, dégagée de son second terme, avec l’équation connue

$x^{3}-3r^{2}x-2r^{2}\cos \varphi =0,$

dont les trois racines sont

$2r\cos {\frac {\varphi }{3}},\qquad -2r\cos \left(60^{\circ }+{\frac {\varphi }{3}}\right),\qquad -2r\cos \left(60^{\circ }-{\frac {\varphi }{3}}\right).$

On aura ainsi les trois valeurs de $s,$ que nous désignerons par $s,\,s',\,s'',$ et les valeurs correspondantes $u,\,u',\,u''.$ Et, si l’on désigne de même par $\lambda ,\,\lambda ',\,\lambda ''$ les angles que les trois axes principaux font avec l’axe des $x,$ par $\mu ,\,\mu ',\,\mu ''$ les angles qu’ils font avec l’axe des $y,$ et par $\nu ,\,\nu ',\,\nu ''$ ceux que ces mêmes axes font avec l’axe des $z,$ on aura, par les articles 24 et 25,

${\begin{aligned}\cos \lambda =&{\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}+u^{2}}}},\\\cos \mu =&{\frac {s}{\sqrt {1+s^{2}+u^{2}}}},\\\cos \nu =&{\frac {u}{\sqrt {1+s^{2}+u^{2}}}},\end{aligned}}$

et l’on aura des expressions semblables en marquant les lettres, $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,s,\,u$ d’un trait ou de deux. Ainsi la détermination des trois axes