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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

principaux, d’après Euler, à qui on en doit la connaissance ; on les nomme aussi axes naturels de rotation ou, en général, axes principaux, soit qu’ils passent par le centre de gravité ou non.

29. En faisant

$f=0,\qquad g=0,\qquad h=0,$

ce qui a lieu par rapport aux trois axes principaux, on a aussi, par les équations de l’article 23,

${\frac {dl}{dt}}=0,\qquad {\frac {dm}{dt}}=0,\qquad {\frac {dn}{dt}}=0,$

ce qui fait voir que les quantités $l,\,m,\,n$ sont alors les plus grandes ou les plus petites. Pour pouvoir distinguer les maxima et les minima, il n’y aura qu’à chercher les valeurs de ${\frac {d^{2}l}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}m}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}\,;$ et l’on trouvera, à cause de ${\dot {\theta }}$ constante,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}l}{dt^{2}}}\ \ =&2\left[(n\ -l\ \ )\cos ^{2}\mu -(l\ \ -m)\cos ^{2}\nu \right]{\dot {\theta }}\,\!^{2},\\{\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}=&2\left[(l\ \ -m)\cos ^{2}\nu -(m-n\ )\cos ^{2}\lambda \right]{\dot {\theta }}\,\!^{2},\\{\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}\ =&2\left[(m-n\ )\cos ^{2}\lambda -(n\ -l\ \ )\cos ^{2}\mu \right]{\dot {\theta }}\,\!^{2}.\end{aligned}}$

Donc, si $l>m,\,m>n,$ la valeur de ${\frac {d^{2}l}{dt^{2}}}$ sera toujours négative, celle de ${\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}$ toujours positive, et celle de ${\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}$ pourra être positive ou négative par conséquent, $l$ sera toujours un maximum, $n$ un minimum, et $m$ ne sera ni l’un ni l’autre. On voit aussi que ${\frac {d^{2}l}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}$ aura toujours une valeur négative, et ${\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}$ aura toujours une valeur positive ; de sorte que la quantité $l+m$ sera toujours un maximum, et $m+n$ un minimum.

Les quantités $l+m,\,l+n,\,m+n,$ qui expriment les sommes des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance aux trois axes des $z,\,y,\,x,$ se nomment, d’après Euler, moments d’inertie