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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

et, substituant pour $s$ et $u$ leurs valeurs,

$f'(cos^{2}\nu -\cos ^{2}\mu )+(m'-n')\cos \mu \cos \nu =0\,;$

mais, en faisant $\cos \lambda =0$ dans

$\cos ^{2}\lambda +\cos ^{2}\mu +\cos ^{2}\nu =1,$

on a

$\cos \nu ={\sqrt {1-\cos ^{2}\mu }}=\sin \mu \,;$

et l’équation précédente se réduit à celle-ci

$\operatorname {tang} 2\mu ={\frac {2f'}{m'-n'}},$

laquelle donne pour l’angle $\mu$ deux valeurs dont l’une surpasse l’autre de $90^{\circ }.$

Ainsi, ayant pris l’axe des $x$ dans le premier axe de rotation, les deux autres axes de rotation uniforme seront dans le plan des $yz$ et feront avec l’axe des $y$ les angles $\mu$ et $\mu +90^{\circ },$ de manière que les trois axes de rotation seront rectangulaires entre eux, comme ceux des coordonnées. On pourra donc prendre aussi ces deux derniers axes pour ceux des $y$ et des $z\,;$ on aura alors

$\mu =0$

et, par conséquent,

$f'=0\,;$

de sorte que la valeur de l’intégrale _S$yz\,\mathrm {Dm}$ sera aussi nulle.

28. Il existe donc, pour chaque corps solide, quelles que soient sa figure et sa constitution, et par rapport à un point quelconque du corps, trois axes rectangulaires, qui se coupent dans ce point, autour desquels le corps peut tourner librement et uniformément ; et ces trois axes sont déterminés par les conditions suivantes

_S$xy\,\mathrm {Dm} =0,\qquad$_S$xz\,\mathrm {Dm} =0,\qquad$_S$yz\,\mathrm {Dm} =0,$

en prenant ces axes pour ceux des coordonnées $x,\,y,\,z.$

Lorsque ces axes passent par le centre de gravité, on les nomme axes