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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

mêmes valeurs,

${\begin{aligned}d\mathrm {P} =&(\mathrm {R} \cos \mu -\mathrm {Q} \cos \nu ){\dot {\theta }}dt,\\d\mathrm {Q} =&(\mathrm {P} \cos \nu -\mathrm {R} \cos \lambda ){\dot {\theta }}dt,\\d\mathrm {R} =&(\mathrm {Q} \cos \lambda -\mathrm {P} \cos \mu ){\dot {\theta }}dt.\end{aligned}}$

D’après ces équations, dans lesquelles $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ et ${\dot {\theta }}$ sont des quantités constantes, il est facile de voir que, si les valeurs de ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ sont nulles lorsque $t$ est nul ou égal à une quantité quelconque donnée, celles de ${\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}},$ de ${\frac {d^{3}\mathrm {P} }{dt^{3}}},{\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dt^{3}}},{\frac {d^{3}\mathrm {R} }{dt^{3}}},$ et ainsi de suite à l’infini, seront aussi nulles pour la même valeur de $t.$

Or on sait, par le théorème de Taylor, que la valeur d’une fonction ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}$ de $t,$ lorsque $t$ devient $t+t',$ devient en même temps

${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}t'+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} }{dt^{3}}}t'^{2}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{4}\mathrm {P} }{dt^{4}}}t'^{3}+\ldots .$

Donc, si ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}$ est nul lorsque l’on a $t'=0,$ on aura toujours

${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=0,$

quel que soit $t'.$ Et la même chose aura lieu pour les valeurs de ${\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}$ et ${\frac {d\mathrm {R} }{dt}}.$

Il s’ensuit de là que, si les équations de l’article 25, qui ne sont que les transformées des équations ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=0,\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0,\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,$ ont lieu dans un instant quelconque, elles auront lieu, quel que soit le temps $t,$ dans l’hypothèse des quantités $s$ et $u$ constantes. Par conséquent, les valeurs de ces quantités seront indépendantes de la variabilité des quantités $l,\,m,\,n,\,f,\,g,\,h\,;$ de sorte qu’il suffira de déterminer les valeurs de ces dernières quantités pour une position quelconque du corps à l’égard des axes fixes des $x,\,y,\,z,$ pour avoir celles des quantités $s$ et $u$ qui déterminent la position de l’axe de rotation, lequel doit demeurer immobile dans l’espace ou du moins toujours parallèle à lui-même si le corps a un mouvement progressif.