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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

25. Supposons

$s={\frac {\cos \mu }{\cos \lambda }},\qquad u={\frac {\cos \nu }{\cos \lambda }}\,;$

les trois équations précédentes deviendront, à cause de $d{\dot {\theta }}=0,$

${\begin{alignedat}{7}&f\left(u^{2}-s^{2}\right)&-&gs&+&hu&+&(m&-&n&)&su&=&0,\\&g\left(1\ \;-u^{2}\right)&-&hsu&+&fs&+&(n&-&l&)&u&=&0,\\&h\left(s^{2}\,-1\right)&+&gsu&-&fu&+&(l&-&m&)&s&=&0.\end{alignedat}}$

La dernière donne

$u={\frac {h\left(s^{2}-1\right)+(l-m)s}{f-gs}}\,;$

cette valeur étant substituée dans la première ou dans la seconde, ou plutôt dans la somme de ces deux, après avoir multiplié l’une par $g$ et l’autre par $f,$ pour en chasser le terme en $u^{2},$ on a

$\left[gh(m-n)+f\left(g^{2}-h^{2}\right)\right]s^{2}$

${\begin{aligned}+\left[g(l-m)(m-n)+fh(n-2l+m)+g\left(g^{2}+h^{2}-f^{2}\right)\right]s^{2}&\\+\left[f(l-m)(m-n)+gh(n-2m+l)+f\left(f^{2}+h^{2}-g^{2}\right)\right]s\ \ &\\+fh(l-n)+g\left(f^{2}-h^{2}\right)&=0.\end{aligned}}$

Cette équation, étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle ; ainsi l’on aura une valeur de $s$ et une valeur correspondante de $u,$ par le moyen desquelles on pourra déterminer la position d’un axe invariable et de rotation uniforme. Mais, comme cette détermination dépend des quantités $l,\,m,$ $n,\,f,\,g,\,h$ qui varient avec le temps $t,$ il faut encore prouver que la variabilité de ces quantités n’influe point sur la valeur des deux quantités $s$ et $u.$

26. Pour y parvenir, nommons $\mathrm {P,\,Q,\,R}$ les premiers membres des trois équations de l’article 22 ; les premiers membres des équations de l’article 24 seront ${\frac {d\mathrm {P} }{{\dot {\theta }}dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{{\dot {\theta }}dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{{\dot {\theta }}dt}},$ en y mettant pour $dl,\,dm,\ldots$ leurs valeurs. Or il est facile de voir qu’on a, par la substitution de ces