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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Reprenons les équations fondamentales de l’article 17 ; faisons, pour abréger,

$l=$_S$x^{2}\mathrm {Dm} ,\qquad m=$_S$y^{2}\mathrm {Dm} ,\qquad n=$_S$z^{2}\mathrm {Dm} ,$

$f=$_S$yz\mathrm {Dm} ,\qquad \;g=$_S$xz\mathrm {Dm} ,\qquad h=$_S$xy\mathrm {Dm} ,$

et substituons pour ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ leurs valeurs ${\dot {\theta }}\cos \lambda ,\,{\dot {\theta }}\cos \mu ,\,{\dot {\theta }}\cos \nu ,$ ${\dot {\theta }}$ étant la vitesse de rotation autour de l’axe instantané qui fait les angles $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ avec les axes fixes des $x,\,y,\,z\,;$ ces équations deviendront ainsi, en les divisant par ${\dot {\theta }},$

${\begin{alignedat}{4}&(m&+&n)&\cos \lambda -&h\cos \mu -&g\cos \nu =&{\frac {\mathrm {A} }{\dot {\theta }}},\\&(l&+&n)&\cos \mu -&h\cos \lambda -&f\cos \nu =&{\frac {\mathrm {B} }{\dot {\theta }}},\\&(l&+&m)&\cos \nu -&g\cos \lambda -&f\cos \mu =&{\frac {\mathrm {C} }{\dot {\theta }}}.\end{alignedat}}$

23. Les six quantités $l,\,m,\,n,\,f,\,g,\,h$ sont variables ; en les différentiant, substituant pour $dx,\,dy,\,dz,$ les quantités ${\dot {x}}dt,{\dot {y}}dt,{\dot {z}}dt,$ et ensuite pour ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ leurs valeurs (article cité), on aura

${\begin{aligned}dl\ \ =&2(g\cos \mu -h\cos \nu ){\dot {\theta }}dt,\\dm=&2(h\cos \nu -f\cos \lambda ){\dot {\theta }}dt,\\dn\ =&2(f\cos \lambda -g\cos \mu ){\dot {\theta }}dt,\\df\;=&\left[(m-n\ )\cos \lambda +g\cos \nu -h\cos \mu \right]{\dot {\theta }}dt,\\dg\;=&\left[(n\;-l\ \ )\cos \mu +h\cos \lambda -f\cos \nu \right]{\dot {\theta }}dt,\\dh\ =&\left[(l\ \;-m)\cos \nu +f\cos \mu -g\cos \lambda \right]{\dot {\theta }}dt.\end{aligned}}$

Ces six équations, jointes aux trois de l’article précédent, renferment la solution générale ; mais nous ne considérons ici que le cas où les angles $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ demeurent invariables, et il s’agit de voir sous quelles conditions ces quantités peuvent être constantes.

24. Pour cela, il n’y a qu’à différentier les trois premières équations dans cette supposition, et y substituer les valeurs des différentielles $dl,$