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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

mouvement de rotation que les forces primitives lui imprimeraient si elles agissaient de la même manière sur la masse solide.

19. Les trois équations de l’article 17 donneront les valeurs des moments $\mathrm {A,\,B,\,C}$ de toutes les forces primitives, en connaissant la position instantanée du corps et ses trois vitesses de rotation ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ par rapport aux axes fixes des $x,\,y,\,z,$ ou la vitesse composée ${\dot {\theta }}$ autour de l’axe instantané, avec les angles $\lambda ,\mu ,\nu$ de cet axe avec les axes fixes des $x,\,y,\,z\,;$ et réciproquement, ayant ces moments, on peut en déduire les valeurs des vitesses de rotation.

On voit aussi par ces équations que les moments seront nuls si les vitesses sont nulles ; mais, les moments étant supposés nuls, il ne s’ensuit pas évidemment que les vitesses de rotation doivent être nulles. Car, en faisant

$\mathrm {A} =0,\qquad \mathrm {B} =0,\qquad \mathrm {C} =0,$

on a trois équations linéaires entre ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ et il faudrait prouver que ces trois équations ne peuvent pas subsister ensemble, à moins de supposer ${\dot {\psi }}=0,\,{\dot {\omega }}=0,\,{\dot {\varphi }}=0.$

En éliminant deux de ces inconnues, on a une équation qui donne la troisième inconnue nulle ou arbitraire, mais avec la condition

_S$\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} \times$_S$\left(x^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times$_S$\left(y^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm}$

$=+$_S$\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} \times ($_S$xy\,\mathrm {Dm} )^{2}+$_S$\left(x^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times ($_S$xz\,\mathrm {Dm} )^{2}$

$+$_S$\left(y^{2}+z^{2}\right)\mathrm {Dm} \times ($_S$yz\,\mathrm {Dm} )^{2}+2$_S$xy\,\mathrm {Dm} \times$_S$xz\,\mathrm {Dm} \times$_S$yz\,\mathrm {Dm} \,;$

et il faudrait prouver que cette condition est impossible à remplir, ce qui paraît très difficile^[1]. Mais nous démontrerons plus bas (art. 31) que, lorsque les moments sont nuls, toute rotation s’évanouit aussi.

D’où nous pouvons d’abord conclure qu’il est impossible qu’un sys-

1. On trouvera à la fin du Volume la démonstration de ce théorème, qui n’offre pas, à beaucoup près, la difficulté que Lagrange semble lui attribuer. M. Binet en a publié une depuis longtemps dans le Bulletin de la Société philomathique. (J. Bertrand.)