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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

même temps proportionnelles aux vitesses ${\dot {\psi }},{\dot {\omega }},{\dot {\varphi }}\,;$ les formules de l’article 7 donneront ainsi

${\dot {x}}=z{\dot {\omega }}-y{\dot {\varphi }},\qquad {\dot {y}}=x{\dot {\varphi }}-z{\dot {\psi }},\qquad {\dot {z}}=y{\dot {\psi }}-x{\dot {\omega }}.$

Ces valeurs de $x,\,y,\,z$ ne sont que les parties qui dépendent des trois rotations ; pour avoir les valeurs complètes des vraies vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},$ il faut y ajouter les parties qui dépendent du changement de situation des corps du système entre eux, et qui sont indépendantes des rotations.

Mais lorsque le système est invariable, ce qui a lieu dans tous les corps solides d’une figure quelconque, ces parties des vitesses sont nulles et les valeurs de $x,\,y,\,z$ se réduisent simplement à celles que nous venons de donner. On pourra donc substituer ces valeurs dans les équations précédentes et, faisant sortir hors du signe _S les quantités ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }},$ on aura, pour un solide de figure quelconque, en mettant l’élément $\mathrm {Dm}$ à la place de $\mathrm {m}$ (sect. 11, art. 7), les équations

${\dot {\varphi }}$_S$\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm {Dm} -{\dot {\psi }}$_S$xz\mathrm {Dm} -{\dot {\omega }}$_S$yz\mathrm {Dm=C} ,$

${\dot {\omega }}\,$_S$\left(x^{2}+z^{2}\,\right)\mathrm {Dm} -{\dot {\psi }}$_S$xy\mathrm {Dm} -{\dot {\varphi }}$_S$yz\mathrm {Dm=B} ,$

${\dot {\psi }}\$_S$\left(y^{2}+z^{2}\,\right)\mathrm {Dm} -{\dot {\omega }}$_S$xy\mathrm {Dm} -{\dot {\varphi }}$_S$xz\mathrm {Dm=A} ,$

par lesquelles on pourra déterminer les vitesses des rotations initiales $\psi ,\,\omega ,\,\varphi ,$ produites par les impulsions $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ appliquées à des points quelconques du corps et dont les moments par rapport aux axes des $x,\,y,\,z$ sont $\mathrm {A,\,B,\,C} .$

Comme les vitesses de rotation sont proportionnelles aux angles infiniment petits décrits en même temps par les rotations respectives, il s’ensuit de ce qu’on a démontré dans la première Partie (sect. III, art. 11) que les trois vitesses ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ se composent en une seule vitesse ${\dot {\theta }}$ telle que

${\dot {\theta }}={\sqrt {{\dot {\psi ^{2}}}+{\dot {\omega ^{2}}}+{\dot {\varphi ^{2}}}}},$

avec laquelle le corps tournera réellement autour d’un axe instantané,