Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/308

290

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Ainsi les équations relatives à un point fixé subsistent aussi, lorsque le système est libre, par rapport à son centre de gravité.

16. Les équations que nous venons de trouver, pour l’effet des impulsions dans le premier instant, ont lieu aussi dans les instants suivants, s’il n’y a point de forces accélératrices, en regardant comme constants les termes qui dépendent des impulsions $\mathrm {X,\,Y,\,Z} \,;$ car, ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ étant les vitesses parallèlement aux axes des $x,\,y,\,z,$ on a

$dx={\dot {x}}dt,\quad dy={\dot {y}}dt,\quad dz={\dot {z}}dt,$

et les équations de l’article 9 deviennent

_S$\mathrm {m} (x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=\mathrm {C} ,$

_S$\mathrm {m} (z{\dot {x}}-x{\dot {z}})=\mathrm {B} ,$

_S$\mathrm {m} (y{\dot {z}}\,-z\,{\dot {y}})=\mathrm {A} ,$

lesquelles, étant comparées à celles de l’article 14, donnent

$\mathrm {C} =$_S$(y\mathrm {X} -x\mathrm {Y} ),$

$\mathrm {B} =$_S$(x\mathrm {Z} -z\mathrm {X} ),$

$\mathrm {A} =$_S$(z\mathrm {Y} -y\mathrm {Z} ),$

Ainsi on a les valeurs des constantes $\mathrm {A,\,B,\,C}$ exprimées par les impulsions primitives données à chaque corps ; et l’on voit que ces valeurs ne sont autre chose que les sommes des moments de ces impulsions par rapport aux axes des $x,$ des $y$ et des $z.$

Il en sera de même des équations relatives au centre de gravité, en comparant les équations de l’article 12 avec celles de l’article 15.

17. Si l’on ne considère que les mouvements de rotation par rapport aux trois axes des coordonnées $x,\,y,\,z,$ et qu’on désigne par ${\dot {\psi }},{\dot {\omega }},{\dot {\varphi }}$ les vitesses de ces rotations, les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ seront proportionnelles aux vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}},$ et les variations $\delta \psi ,\,\delta \omega ,\,\delta \varphi$ seront en