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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z'$ donneront d’abord les trois équations relatives au mouvement du centre de gravité trouvées dans ce même article.

Il restera ensuite l’équation

_S$\left[(\mathrm {m} {\dot {x}}+\mathrm {X} )\delta \xi +(\mathrm {m} {\dot {y}}+\mathrm {Y} )\delta \eta +(\mathrm {m} {\dot {z}}+\mathrm {Z} )\delta \zeta \right]=0.$

Or, en rapportant les rotations $\delta \psi ,\,\delta \omega ,\,\delta \varphi$ aux axes des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ et n’ayant égard qu’à ces rotations, on a, comme dans l’article 7,

$\delta \xi =\zeta \,\delta \omega -\eta \,\delta \varphi ,\quad \delta \eta =\xi \,\delta \varphi -\zeta \,\delta \psi ,\quad \delta \zeta =\eta \,\delta \psi -\xi \,\delta \omega ,$

et les trois variations indéterminées $\delta \psi ,\delta \omega ,\delta \varphi$ donneront les trois équations

_S$\left[\mathrm {m} (\xi {\dot {y}}-\eta {\dot {x}})+\xi \mathrm {Y} -\eta \mathrm {X} \right]=0,$

_S$\left[\mathrm {m} (\zeta {\dot {x}}-\xi {\dot {z}})+\zeta \mathrm {X} -\xi \mathrm {Z} \right]=0,$

_S$\left[\mathrm {m} (\eta {\dot {z}}-\zeta {\dot {y}})+\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} \right]=0,$

Mais

${\dot {x}}={\dot {x}}'+{\dot {\xi }},\qquad {\dot {y}}={\dot {y}}'+{\dot {\eta }},\qquad {\dot {z}}={\dot {z}}'+{\dot {\zeta }}\,;$

donc, substituant ces valeurs, faisant sortir hors du signe _S les quantités ${\dot {x}}',\,{\dot {y}}',\,{\dot {z}}',$ qui ne se rapportent qu’au centre de gravité, et observant que, par les propriétés de ce centre, on a

_S$\mathrm {m} \xi =0,\quad$_S$\mathrm {m} \eta =0,\quad$_S$\mathrm {m} \zeta =0,$

les trois équations précédentes deviendront

_S$\left[\mathrm {m} (\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }})+\xi \mathrm {Y} -\eta \mathrm {X} \right]=0,$

_S$\left[\mathrm {m} (\zeta {\dot {\xi }}-\xi {\dot {\zeta }})+\zeta \mathrm {X} -\xi \mathrm {Z} \right]=0,$

_S$\left[\mathrm {m} (\eta {\dot {\zeta }}-\zeta \,{\dot {\eta }})+\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} \right]=0,$

qui sont tout à fait semblables à celles de l’article précédent, et dans lesquelles les coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ont leur origine au centre de gravité, et les vitesses ${\dot {\xi }},\,{\dot {\eta }},\,{\dot {\zeta }}$ sont relatives à ce centre.