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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

$y,z$ partant d’un point fixe, il y a les coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ dont l’origine est dans le centre de gravité du système.

Ainsi, lorsque les forces accélératrices sont nulles, on aura les intégrales

_S$\mathrm {m} \left(\xi {\frac {d\eta }{dt}}-\eta {\frac {d\xi }{dt}}\right)=\mathrm {C} ,$

_S$\mathrm {m} \left(\zeta {\frac {d\xi }{dt}}-\xi {\frac {d\zeta }{dt}}\right)=\mathrm {B} ,$

_S$\mathrm {m} \left(\eta {\frac {d\zeta }{dt}}-\zeta {\frac {d\eta }{dt}}\right)=\mathrm {A} ,$

sur lesquelles on pourra faire des remarques analogues à celles que nous avons faites sur les équations de l’article 9.

13. Quand un des corps du système est retenu fixement par un obstacle quelconque, en plaçant dans ce corps l’origine des coordonnées, on a le cas de l’article 7. Mais, si deux corps du système sont supposés fixes, on regardera la ligne qui passe par ces deux corps comme un axe fixe autour duquel le système peut tourner librement, et, prenant cet axe pour celui des coordonnées $z,$ on aura simplement, par le même article,

$\delta x=-y\,\delta \varphi ,\quad \delta y=x\,\delta \varphi ,$

$\delta \varphi$ étant la rotation élémentaire autour de cet axe, laquelle doit demeurer indéterminée. On n’aura ainsi qu’une seule équation relative à cette variation $\delta \varphi ,$ laquelle sera

_S$\mathrm {m} \left(x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} \right)=0\,;$

et lorsque le moment $x\mathrm {Y} -y\mathrm {X}$ des forces extérieures par rapport à l’axe de rotation est nul, on aura par l’intégration, comme dans l’article 9,

_S$\mathrm {m} \left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=\mathrm {C} ,$

équation qui donne le principe des aires par rapport au plan des $xy$