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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Cette position est facile à déterminer par les équations

$\mathrm {A=\gamma C',\qquad B=\gamma 'C',\qquad C=\gamma ''C'} \,;$

car, puisque les quantités $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$ sont les cosinus des angles que l’axe des $\mathrm {C} '$ ou $z',$ qui est perpendiculaire au plan variable, fait avec les axes des $x,\,y,\,z$ du système, en nommant ces angles $l,\,m,\,n,$ on aura, à cause de

$\mathrm {C'={\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,$

$\cos l=\mathrm {\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\quad \cos m=\mathrm {\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,$

$\cos n=\mathrm {\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} .$

12. Si le système est libre, c’est-à-dire s’il n’y a aucun des points du système qui doive être fixe, on peut prendre l’origine, supposée fixe, des coordonnées $x,\,y,\,z$ partout où l’on voudra ; par conséquent, les propriétés des aires et des moments que nous venons de démontrer auront lieu par rapport à un point fixe quelconque pris à volonté dans l’espace.

Mais, par ce que nous avons démontré dans l’article 6, ces mêmes propriétés auront lieu également par rapport au centre de gravité de tout le système, soit que ce centre soit fixe ou non. En effet, si, dans le s trois équations de l’article 7, on substitue pour $x,\,y,\,z$ les quantités $x'+\xi ,\ y'+\eta ,\ z'+\zeta ,$ en rapportant, comme dans l’article 3, les coordonnées $x',\,y',\,z'$ au centre de gravité du système, et qu’on ait égard aux trois équations de ce dernier article, on aura ces transformées

_S$\mathrm {m} \left(\xi {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}-\eta {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\xi \mathrm {Y} -\eta \mathrm {X} \right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left(\zeta {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-\xi {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+\zeta \mathrm {X} -\xi \mathrm {Z} \right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left(\eta {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}-\zeta {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+\eta \mathrm {Z} -\zeta \mathrm {Y} \right)=0,$

qui sont, comme l’on voit, semblables à celles de l’article 7, et dont toute la différence consiste en ce que, à la place des coordonnées $x,$