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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

On voit tout de suite par là qu’on peut faire

$\mathrm {A} '=0,\qquad \mathrm {B} '=0,$

en faisant passer l’axe des $\mathrm {C} '$ ou $z'$ par le point auquel répondent les coordonnées $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ et qu’alors la coordonnée $\mathrm {C} '$ aura sa plus grande valeur égale à $\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} .$ On aura, dans ce cas,

$\mathrm {A=\gamma C',\quad B=\gamma 'C',\quad C=\gamma ''C'} ,$

et il est facile de voir que les coefficients $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$ ne seront autre chose que les cosinus des angles que la ligne $\mathrm {C} '$ fait avec les axes des $\mathrm {A,\,B,\,C} .$

Ainsi la résolution des équations

_S$\mathrm {m} \left(x'{\frac {dy'}{dt}}-y'{\frac {dx'}{dt}}\right)=\mathrm {C} ',$

_S$\mathrm {m} \left(z'{\frac {dx'}{dt}}-x'{\frac {dz'}{dt}}\right)=0,\$

_S$\mathrm {m} \left(y'{\frac {dz'}{dt}}-z'{\frac {dy'}{dt}}\right)=0\ \,$

donnera celle des équations

_S$\mathrm {m} \left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)=\gamma ''\mathrm {C} ',$

_S$\mathrm {m} \left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\frac {dz}{dt}}\right)=\gamma '\mathrm {C} ',$

_S$\mathrm {m} \left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)=\gamma \mathrm {C} ',$

les quantités $\gamma ,\,\gamma ',\,\gamma ''$ étant trois constantes telles que

$\gamma ^{2}+\gamma '^{2}+\gamma ''^{2}=1$

et dont deux sont arbitraires.

Le plan perpendiculaire à l’axe des $\mathrm {C} ',$ lorsque $\mathrm {C} '$ devient un maximum, est celui que M. Laplace nomme plan invariable, et dont il a le premier démontré l’existence et la position.