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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

d’où l’on tire, par les équations de condition de l’article 10 (Part. 1, sect. III),

${\begin{aligned}\mathrm {A} '=&\mathrm {A\alpha +B\alpha '+C\alpha ''} ,\\\mathrm {B} '=&\mathrm {A\beta +B\beta '+C\beta ''} ,\\\mathrm {C} '=&\mathrm {A\gamma +B\gamma '+C\gamma ''} \end{aligned}}$

et

$\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}=A'^{2}+B'^{2}+C'^{2}} .$

Il résulte de cette dernière équation qu’on a, en général,

$\quad {\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(x\ {\frac {dy}{dt}}\ -y\ {\frac {dx}{dt}}\,\ \right)\right]^{2}+{\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(z\ {\frac {dx}{dt}}\ -x\ {\frac {dz}{dt}}\,\ \right)\right]^{2}+$${\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(y\ {\frac {dz}{dt}}\ -z\ {\frac {dy}{dt}}\ \right)\right]^{2},$

$={\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(x'{\frac {dy'}{dt}}-y'{\frac {dx'}{dt}}\right)\right]^{2}+{\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(z'{\frac {dx'}{dt}}-x'{\frac {dz'}{dt}}\right)\right]^{2}+$${\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(y'{\frac {dz'}{dt}}-z'{\frac {dy'}{dt}}\right)\right]^{2},$

d’où l’on peut conclure que la fonction

$\quad {\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right)\right]^{2}+{\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(z{\frac {dx}{dt}}-x{\frac {dz}{dt}}\right)\right]^{2}+$${\Bigg [}{\Bigg .}$_S$\left.\mathrm {m} \left(y{\frac {dz}{dt}}-z{\frac {dy}{dt}}\right)\right]^{2},$

a toujours une valeur indépendante du plan de projection et de la position des axes des coordonnées $x,\,y,\,z$ dans l’espace, pourvu que ces coordonnées soient rectangulaires entre elles.

11. Ces expressions de $\mathrm {A,\,B,\,C}$ en $\mathrm {A',\,B',\,C'}$ qu’on vient de trouver sont semblables à celles de $x,\,y,\,z$ en $x',\,y',\,z'$ de l’article 9 de la Section précédente ; par conséquent, si l’on prend

$x'=\mathrm {A} ',\quad y'=\mathrm {B} ',\quad z'=\mathrm {C} ',$

on aura

$\mathrm {A} =x,\quad \mathrm {B} =y,\quad \mathrm {C} =z,$

et réciproquement

$x=\mathrm {A} ,\quad y=\mathrm {B} ,\quad z=\mathrm {C}$

donnera

$\mathrm {A} '=x',\quad \mathrm {B} '=y',\quad \mathrm {C} '=z'\,;$

c’est-à-dire que $\mathrm {A,\,B,\,C}$ et $\mathrm {A',\,B',\,C'}$ seront deux systèmes de coordonnées qui répondent à un même point, le premier étant relatif aux axes des $x,\,y,\,z$ et le second aux axes des $x',\,y',\,z'.$