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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

On peut réduire ces formules à une expression plus simple, en observant que l’on a identiquement

${\begin{aligned}&(\alpha \beta '-\beta \alpha ')^{2}+(\beta \alpha ''-\alpha \beta '')^{2}+(\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')^{2}\\&\qquad =\left(\alpha ^{2}+\alpha '^{2}+\alpha ''^{2}\right)\left(\beta ^{2}+\beta '^{2}+\beta ''^{2}\right)-(\alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta '')^{2},\end{aligned}}$

quantité qui se réduit à l’unité, en vertu des équations de condition de la première Partie (sect. III, art. 10). On a, de plus, ces équations identiques

${\begin{aligned}\alpha (\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')+\alpha '(\beta \alpha ''-\alpha \beta '')+\alpha ''(\alpha \beta '-\beta \alpha ')=&0,\\\beta (\alpha '\beta ''-\beta '\alpha '')+\beta '\,(\beta \alpha ''-\alpha \beta '')+\beta ''(\alpha \beta '-\beta \alpha ')=&0,\\\end{aligned}}$

Si donc on compare ces équations avec les trois équations de condition

$\gamma ^{2}+\gamma ^{2}+\gamma ^{2}=1,\quad \alpha \gamma +\alpha '\gamma '+\alpha ''\gamma ''=0,\quad \beta \gamma +\beta '\gamma '+\beta ''\gamma ''=0,$

il est facile de conclure de cette comparaison qu’on aura

$\alpha '\beta ''-\beta '\alpha ''=\gamma ,\quad \beta \alpha ''-\alpha \beta ''=\gamma ',\quad \alpha \beta '-\beta \alpha '=\gamma ''.$

Les quantités $\gamma ,\gamma ',\gamma ''$ pourraient avoir également le signe $-\,;$ mais comme, dans la coïncidence des axes des $x',\,y',\,z'$ avec ceux des $x,\,y,\,z$, on doit avoir (Part. I, sect. III, art. 11)

$\alpha =1,\ \ \beta =0,\ \ \gamma =0,\ \ \alpha '=0,\ \ \beta '=1,\ \ \gamma '=0,\ \ \alpha ''=0,\ \ \beta ''=0,\ \ \gamma ''=1,$

cette condition ne peut avoir lieu qu’en prenant $\gamma ''$ positivement, et par conséquent aussi $\gamma '$ et $\gamma .$

On trouvera, de la même manière,

${\begin{alignedat}{3}\gamma '\alpha ''-\alpha '\gamma ''=&\beta ,\quad &\quad \alpha \gamma ''-\gamma \alpha ''=&\beta ',\quad &\quad \gamma \alpha '-\alpha \gamma '=&\beta '',\\\gamma '\beta ''-\beta '\gamma ''=&\alpha ,&\quad \gamma \beta ''-\beta \gamma ''=&\alpha ',&\quad \beta \gamma '-\gamma \beta '=&\alpha ''\,;\end{alignedat}}$

de sorte que l’on aura

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} =&\alpha &\mathrm {A} '+&\beta &\mathrm {B} '+&\gamma &\mathrm {C} ',\\\mathrm {B} =&\alpha '&\mathrm {A} '+&\beta '&\mathrm {B} '+&\gamma '&\mathrm {C} ',\\\mathrm {C} =&\alpha ''&\mathrm {A} '+&\beta ''&\mathrm {B} '+&\gamma ''&\mathrm {C} '\,;\end{alignedat}}$