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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

10. Il est à propos de remarquer que ces équations sont dans le cas de l’article 10 de la Section précédente ; de sorte qu’on y peut introduire trois nouvelles constantes arbitraires, par le changement des axes des coordonnées.

Soient $x',\,y',\,z'$ les nouvelles coordonnées ; on aura également

_S$\mathrm {m} \left(x'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}-y'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {C} ',$

_S$\mathrm {m} \left(z'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-x'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {B} ',$

_S$\mathrm {m} \left(y'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}-z'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {A} ',$

les quantités $\mathrm {A',\,B',\,C'}$ étant aussi des constantes arbitraires, mais différentes de $\mathrm {A,\,B,\,C} .$

Substituons maintenant dans l’expression $x\,dy-y\,dx$ les valeurs de $x,\,y$ en $x',\,y',\,z'$ données dans l’article cité de la même Section : on aura

${\begin{alignedat}{3}xdy-ydx=&+(\alpha \beta '&-&\beta \alpha ')(x'&dy'-y'&dx')+(\gamma \alpha '-\alpha \gamma ')(z'dx'-x'dz')\\&+(\beta \gamma '&-&\gamma \beta ')(y'&dz'-z'&dy').\end{alignedat}}$

On trouvera de même

${\begin{alignedat}{3}zdx-xdz=&+(\beta \alpha ''&-&\alpha \beta '')(x'&dx'-y'&dz')+(\alpha \gamma ''-\gamma \alpha '')(z'dx'-x'dz')\\&+(\gamma \beta ''&-&\beta \gamma '')(y'&dz'-z'&dy'),\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{3}ydz-zdy=&+(\alpha '\beta ''&-&\beta '\alpha '')(x'&dy'-y'&dx')+(\gamma '\alpha ''-\alpha '\gamma '')(z'dx'-x'dz')\\&+(\gamma '\beta ''&-&\beta '\gamma '')(y'&dz'-z'&dy').\end{alignedat}}$

Si l’on affecte tous les termes de ces équations du signe _S, après les avoir multipliées par $\mathrm {m}$ et divisées par $dt,$ et qu’on y substitue, à la place des intégrales affectées de _S, leurs valeurs $\mathrm {A,\,B,\,C} ,$ $\mathrm {A',\,B',\,C'} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{6}\mathrm {C} =&(\alpha \beta '&-&\beta \alpha ')\mathrm {C} '&+&(\gamma \alpha '&-&\alpha \gamma ')\mathrm {B} '&+&(\beta \gamma '&-&\gamma \beta ')\mathrm {A} ',\\\mathrm {B} =&(\beta \alpha ''&-&\alpha \beta '')\mathrm {C} '&+&(\alpha \gamma ''&-&\gamma \alpha '')\mathrm {B} '&+&(\gamma \beta ''&-&\beta \gamma '')\mathrm {A} ',\\\mathrm {A} =&(\alpha '\beta ''&-&\beta '\alpha '')\mathrm {C} '&+&(\gamma '\alpha ''&-&\alpha '\gamma '')\mathrm {B} '&+&(\gamma '\beta ''&-&\beta '\gamma '')\mathrm {A} '.\end{alignedat}}$