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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

double de l’aire comprise entre le rayon vecteur $\rho$ et le rayon consécutif qui fait avec lui l’angle $d\varphi \,;$

2^o Que les quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ représentent les forces qui sollicitent chaque corps $m$ suivant les coordonnées $x,\,y,\,z$ et vers leur origine, et qui résultent de toutes les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ agissantes sur ce corps suivant des directions quelconques (sect. II, art. 5), et qu’ainsi les quantités

$y\mathrm {X} -x\mathrm {Y} ,\qquad x\mathrm {Z} -z\mathrm {X} ,\qquad z\mathrm {Y} -y\mathrm {Z}$

expriment les moments des forces qui tendent à faire tourner les corps autour de chacun des trois axes des coordonnées $z,\,y,\,x,$ en prenant le mot moment, dans le sens ordinaire, pour le produit de la force et de la perpendiculaire menée sur sa direction.

9. Si le système n’était animé par aucune force extérieure, ou s’il l’était seulement par des forces tendantes au point que nous avons pris pour l’origine des coordonnées, les trois équations précédentes se réduiraient à celles-ci

_S$\mathrm {m} \left(x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left(z{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left(y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)=0,$

lesquelles, étant intégrées par rapport à la variable $t,$ donneront, en prenant trois constantes arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,$

_S$\mathrm {m} \left(x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {C} ,$

_S$\mathrm {m} \left(z{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {B} ,$

_S$\mathrm {m} \left(y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)=\mathrm {A} .$

Ces dernières équations renferment évidemment le principe des aires, dont nous avons parlé dans la première Section.