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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

sorte qu’on aura les trois équations relatives à chacune de ces variations

_S$\mathrm {m} \left(x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x\mathrm {Y} -y\mathrm {X} \right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left(z{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z\mathrm {X} -x\mathrm {Z} \right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left(y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y\mathrm {Z} -z\mathrm {Y} \right)=0.$

Ces équations auront lieu à la fois, lorsque le système aura la liberté de tourner autour de chacun des trois axes, c’est-à-dire toutes les fois que le système sera disposé de manière à pouvoir pirouetter librement en tout sens autour du point fixe qui est l’origine des coordonnées.

Et il est bon de remarquer que ces équations ont toujours lieu indépendamment de l’action mutuelle des corps, de quelque manière que cette action puisse s’exercer, même par le choc mutuel des corps du système, comme dans l’article 3 et par la même raison ; elles sont, de plus, indépendantes des forces qui tendraient vers le point fixe où est l’origine des coordonnées.

8. Pour se former une idée plus nette de ces équations, on remarquera :

1^o Que les quantités

$xd^{2}y-yd^{2}x,\quad zd^{2}x-xd^{2}z,\quad yd^{2}z-zd^{2}y$

sont les différentielles de celles-ci

$xdy-ydx,\quad zdx-xdz,\quad ydz-zdy,$

lesquelles représentent le double des secteurs élémentaires décrits par le corps $\mathrm {m}$ sur le plan des $xy,$ des $xz$ et des $yz,$ c’est-à-dire sur les plans perpendiculaires aux axes des $z,$ des $y$ et des $x.$ En effet, si dans

$xdy-ydx$

on substitue pour $x$ et $y$ les valeurs $\rho \cos \varphi ,\,\rho \sin \varphi ,$ on a

$\rho ^{2}\delta \varphi$