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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

sens autour de ce point. En faisant abstraction des mouvements respectifs des corps du système les uns à l’égard des autres, la rotation autour de chacun des trois axes des $x,\,y,\,z$ fournira, comme on l’a vu dans la première Partie (sect. III, art. 8), les expressions suivantes des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$

$\delta x=z\,\delta \omega -y\,\delta \varphi ,\qquad \delta y=x\,\delta \varphi -z\,\delta \psi ,\,\qquad \delta z=y\,\delta \psi -x\,\delta \omega ,$

dans lesquelles $\delta \varphi ,\,\delta \omega ,\delta \psi$ sont les rotations élémentaires par rapport aux trois axes des $z,\,y,\,x,$ qui doivent demeurer arbitraires.

Ces expressions sont générales pour les variations des coordonnées de tous les corps du système, et il ne s’agira que de les substituer dans la formule de l’article 5 de la Section précédente, après avoir réduit toutes les variations à $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ et d’égaler ensuite à zéro séparément les quantités affectées des trois indéterminées $\delta \varphi ,\,\delta \omega ,\delta \psi .$

On trouvera d’abord, comme dans l’article cité de la première Partie, que la variation $\delta {\overline {p}}$ devient nulle, et qu’ainsi les termes dus aux forces intérieures $\mathrm {\overline {P}}$ du système, ne renfermant point les variations $\delta \varphi ,\,\delta \omega ,\delta \psi ,\,$ ne donneront rien dans les équations dont il s’agit. On trouve aussi, comme on l’a vu dans le même article, que la variation $\delta p$ est nulle lorsque la force $\mathrm {P}$ tend vers l’origine des coordonnées, et qu’ainsi cette force n’entrera point dans les mêmes équations.

En faisant donc simplement pour $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ les substitutions indiquées, après avoir changé les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ en $\mathrm {X,Y,Z} ,$ comme ci-dessus (art. 2), on aura, relativement aux variations $\delta \varphi ,\,\delta \omega ,\delta \psi ,\,$ l’équation

_S$\mathrm {m} \left\{{\begin{aligned}&\left(x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} x-\mathrm {X} y\right)\delta \varphi \\+&\left(z{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-x{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {X} z\,-\mathrm {Z} x\right)\delta \omega \\+&\left(y{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,-z{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} y\,-\mathrm {Y} z\right)\delta \psi \end{aligned}}\right\}=0\,;$

et, comme les variations $\delta \varphi ,\,\delta \psi ,\,\delta \omega$ sont les mêmes pour tous les corps du système, elles n’entreront pas sous le signe d’intégration _S ; de