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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Substituant $x'+\xi ,\,y'+\eta ,\,z'+\zeta$ pour $x,\,y,\,z$ dans les différentielles $d^{2}x,\,d^{2}y,$ $d^{2}z,$ et faisant sortir hors du signe _S les différentielles $d^{2}x',d^{2}y',$ $d^{2}z',$ les termes affectés de ces différentielles seront

{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}

_S

\mathrm {m} \,\delta \xi +{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}

_S

\mathrm {m} \,\delta \eta +{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}

_S

\mathrm {m} \,\delta \zeta .

Mais, en rapportant au centre de gravité les coordonnées $x',y',z',$ on a (art. 3)

_S

\mathrm {m} \xi =0,\qquad

_S

\mathrm {m} \eta =0,\qquad

_S

\mathrm {m} \zeta =0\,;

donc aussi, en différentiant par $\delta ,$ on aura

_S

\mathrm {m} \delta \xi =0,\qquad

_S

\mathrm {m} \delta \eta =0,\qquad

_S

\mathrm {m} \delta \zeta =0,

ce qui fait évanouir les termes dont il s’agit.

Ainsi la formule générale se réduira à

_S

\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\delta \xi +{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}\delta \eta +{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\delta \zeta +\mathrm {X} \delta \xi +\mathrm {Y} \delta \eta +\mathrm {Z} \delta \zeta \right)=0,

qui est tout à fait semblable à la première formule, les coordonnées $x,\,y,\,z,$ dont l’origine est fixe dans l’espace, étant changées en $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ dont l’origine est au centre de gravité.

On peut conclure de là^[1], en général, que, dans un système libre, on aura, par rapport au centre de gravité, les mêmes équations et les mêmes propriétés que par rapport à un point fixe hors du système.

§ II. — Propriétés relatives aux aires.

7. Considérons maintenant le mouvement du système autour d’un point fixe, et supposons qu’il soit entièrement libre de tourner en tout

↑ Cette conclusion est trop absolue. L’équation différentielle qui lie $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ est, en effet, de même forme que celle qui lie $x,\,y,\,z\,;$ mais les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ n’auront pas des expressions de même forme par rapport aux deux systèmes de variables. Ainsi, par exemple, si l’on considère deux points qui s’attirent mutuellement avec une force réciproquement proportionnelle au carré de la distance, ils décriront des ellipses par rapport aux axes mobiles passant par le centre de gravité. Par rapport à des axes fixes, les trajectoires seraient beaucoup plus compliquées. (J. Bertrand.)

[1] Cette conclusion est trop absolue. L’équation différentielle qui lie $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ est, en effet, de même forme que celle qui lie $x,\,y,\,z\,;$ mais les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ n’auront pas des expressions de même forme par rapport aux deux systèmes de variables. Ainsi, par exemple, si l’on considère deux points qui s’attirent mutuellement avec une force réciproquement proportionnelle au carré de la distance, ils décriront des ellipses par rapport aux axes mobiles passant par le centre de gravité. Par rapport à des axes fixes, les trajectoires seraient beaucoup plus compliquées. (J. Bertrand.)

[1]