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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

5. Ce théorème a encore lieu lorsque les corps qui composent un système libre ne reçoivent que des impulsions quelconques ; car, en substituant, dans l’équation de l’article 11 de la Section précédente, $\delta x'+\delta \xi ,$ $\delta y'+\delta \eta ,$ $\delta z'+\delta \zeta$ à la place de $\delta x,\delta y,\delta z,$ et réduisant les forces $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ aux forces $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ on prouvera, comme dans l’article 2, que les variations $\delta x',\,\delta y',$ $\delta z'$ doivent demeurer arbitraires, ce qui donnera les trois équations

_S$(m{\dot {x}}+\mathrm {X} )=0,\quad$_S$(m{\dot {y}}+\mathrm {Y} )=0,\quad$_S$(m{\dot {z}}+\mathrm {Z} )=0.$

Or, si l’on rapporte les coordonnées $x',\,y',\,z'$ au centre de gravité du système, on a, par les propriétés de ce centre,

$x'$_S$\mathrm {m} =$_S$\mathrm {m} x,\quad y'$_S$\mathrm {m} =$_S$\mathrm {m} y,\quad z'$_S$\mathrm {m} =$_S$\mathrm {m} z,\quad$

Donc aussi, en différentiant relativement à $t,$ et faisant

${\begin{alignedat}{3}dx=&{\dot {x}}\ dt,\qquad &dy=&{\dot {y}}\ dt,\qquad &dz=&{\dot {z}}\ dt,\\dx'=&{\dot {x}}'dt,&dy'=&{\dot {y}}'dt,&dz'=&{\dot {z}}'dt,\end{alignedat}}$

on aura

${\dot {x}}'$_S$\mathrm {m} =$_S$\mathrm {m} {\dot {x}},\quad {\dot {y}}'$_S$\mathrm {m} =$_S$\mathrm {m} {\dot {y}},\quad {\dot {z}}'$_S$\mathrm {m} =$_S$\mathrm {m} {\dot {z}}$

et, par conséquent,

${\dot {x}}'$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {X} =0,\quad {\dot {y}}'$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {Y} =0,\quad {\dot {z}}'$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {Z} =0,$

ce qui fait voir que les vitesses ${\dot {x}}',\,{\dot {y}}',\,{\dot {z}}'$ imprimées au centre de gravité sont les mêmes que si tous les corps, étant réunis dans ce centre, recevaient à la fois les impulsions $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$

6. La formule générale (art. 2), après la substitution $\delta x'+\delta \xi ,$ $\delta y'+\delta \eta ,$ $\delta z'+\delta \zeta$ à la place de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ et l’évanouissement des termes affectés de $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ se réduira à

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta \xi +{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta \eta +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta \zeta +\mathrm {X} \delta \xi +\mathrm {Y} \delta \eta +\mathrm {Z} \delta \zeta \right)=0.$