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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

d’où l’on tire sur-le-champ ces trois équations

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)=0,$

lesquelles auront toujours lieu dans le mouvement d’un système quelconque de corps, lorsque le système est entièrement libre.

3. Supposons maintenant que le corps auquel répondent les coordonnées $x',\,y',\,z'$ soit placé dans le centre de gravité de tout le système. On aura, par les propriétés connues de ce centre (Part. I, sect. III, § IV), les équations

_S$\mathrm {m} \xi =0,\qquad$_S$\mathrm {m} \eta =0,\qquad$_S$\mathrm {m} \zeta =0,$

lesquelles, en différentiant par rapport à $t,$ donneront celles-ci :

_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=0,\qquad$_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=0,\qquad$_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=0.$

Donc on aura

_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=$_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {m} ,$

parce que $x',$ ayant la même valeur pour tous les corps, est indépendante du signe _S ; on aura pareillement

_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {m} ,\qquad$_S$\mathrm {m} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {m} .$

Ainsi les trois équations de l’article précédent prendront cette forme plus simple :

${\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {mX} =0,$

${\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {mY} =0,$

${\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {m} +$_S$\mathrm {mZ} =0.$