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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

prement les coordonnées des différents corps, rapportés à celui qui répond à $x',\,y',\,z'\,;$ par conséquent, les équations de condition du système seront entre les seules variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ et ne renfermeront point $x',\,y',\,z'.$

Donc, si dans la formule générale de la Dynamique (sect. II, art. 5) on réduit toutes les variations à $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ et qu’on substitue, pour $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ leurs valeurs $\delta x'+\delta \xi ,\ \delta y'+\delta \eta ,\ \delta z'+\delta \zeta ,$ les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z'$ seront indépendantes de toutes les autres et arbitraires en elles-mêmes ; ainsi, il faudra égaler séparément à zéro la totalité des termes affectés de chacune de ces variations, ce qui donnera trois équations générales et indépendantes de la constitution particulière du système.

Les forces intérieures par lesquelles les corps pourraient agir les uns sur les autres, et que nous dénotons par $\mathrm {{\overline {P}},\,{\overline {Q}}} ,\ldots ,$ comme dans la première Partie (sect. II, art. 2), n’entreront point dans ces équations, parce que, les distances mutuelles ${\bar {p}},{\bar {q}},\ldots$ étant indépendantes de $x',y',z',$ les variations $\delta {\bar {p}},\delta {\bar {q}},\ldots ,$ relatives à ces variables, seront nulles.

À l’égard des forces extérieures $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots ,$ si on les réduit aux trois forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ dirigées suivant les coordonnées $x,\,y,\,z$ et tendantes à les diminuer, d’après les formules données dans la première Partie (sect. V, Chap. I), on a

$\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots =\mathrm {X} \,\delta x+\mathrm {Y} \,\delta y+\mathrm {Z} \,\delta z,$

et la formule générale devient

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)\delta x+$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)\delta y+$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)\delta z=0,$

laquelle, en n’ayant égard qu’aux variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ qui sont indépendantes de toutes les autres, donnera

$\delta x'$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)+\delta y'$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)+\delta z'$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)=0\,;$