Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/288

270

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

par laquelle la formule générale de la Dynamique diffère de celle de la Statique (art. 5), est indépendante de la position des axes des coordonnées $x,\,y,\,z.$

Car, supposons qu’à la place de ces coordonnées on substitue d’autres coordonnées rectangles $x',\,y',\,z'$ qui aient la même origine, mais qui se rapportent à d’autres axes. Par les formules de la transformation des coordonnées, données dans la première Partie (sect. III, art. 10), on a

${\begin{alignedat}{2}x=&\alpha \ \,x'+\beta \ \ y'+\gamma \ \ z',\\y=&\alpha '\,x'+\beta '\ y'+\gamma '\ z',\\z=&\alpha ''x'+\beta ''y'+\gamma ''z',\\\end{alignedat}}$

Différentions ces expressions de $x,\,y,\,z,$ en y regardant tous les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\ldots$ comme constants et les nouvelles coordonnées $x',y',z'$ comme seules variables, on aura

${\begin{alignedat}{2}d^{2}x=&\alpha \ \ d^{2}x'+\beta \ \ d^{2}y'+\gamma \ \ d^{2}z',\\d^{2}y=&\alpha '\,d^{2}x'+\beta '\ d^{2}y'+\gamma '\ d^{2}z',\\d^{2}z=&\alpha ''d^{2}x'+\beta ''d^{2}y'+\gamma ''d^{2}z'.\end{alignedat}}$

On aura de même

${\begin{alignedat}{2}\delta x=&\alpha \ \ \delta x'+\beta \ \,\delta y'+\gamma \ \ \delta z',\\\delta y=&\alpha '\,\delta x'+\beta '\ \delta y'+\gamma '\ \delta z',\\\delta z=&\alpha ''\delta x'+\beta ''\delta y'+\gamma ''\delta z'.\end{alignedat}}$

Substituant ces valeurs et ayant égard aux équations de condition données dans l’article cité, entre les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\ldots ,$ on aura

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=d^{2}x'\,\delta x'+d^{2}y'\,\delta y'+d^{2}z'\,\delta z'.$

Si l’on fait les mêmes substitutions dans l’expression des distances rectilignes entre les différents corps du système, représentées par $p,\,q,\ldots ,$ il est facile de voir que les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\ldots$ disparaîtront également et que les transformées conserveront la même forme. En effet, on a

$\mathrm {p} ={\sqrt {(x-\mathrm {x} )^{2}+(y-\mathrm {y} )^{2}+(z-\mathrm {z} )^{2}}},$

$x,\,y,\,z$ étant les coordonnées d’un corps $m$ et $\mathrm {x,\,y,\,z}$ celles d’un autre