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SECONDE PARTIE. — SECTION II.

par le corps et très près de lui ; on fera, pour cela,

$x-l=dx,\qquad y-m=dy,\qquad z-n=dz,$

ce qui donnera, en prenant $ds$ pour l’élément de la courbe,

${\frac {x-l}{r}}={\frac {dx}{ds}},\qquad {\frac {y-m}{r}}={\frac {dy}{ds}},\qquad {\frac {z-n}{r}}={\frac {dz}{ds}}$

et, par conséquent,

$\delta r={\frac {dx}{ds}}\delta x+{\frac {dy}{ds}}\delta y+{\frac {dz}{ds}}\delta z.$

Si le milieu résistant était en mouvement, il faudrait composer ce mouvement avec celui du corps pour avoir la direction de la force de résistance. Nommons $d\alpha ,\,d\beta ,\,d\gamma$ les petits espaces que le milieu parcourt parallèlement aux axes des coordonnées $x,\,y,\,z,$ pendant que le corps décrit l’espace $ds\,;$ il n’y aura qu’à retrancher ces quantités de $dx,\,dy,\,dz$ pour avoir les mouvements relatifs ; et, comme

$ds={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

si l’on fait

$d\sigma ={\sqrt {(dx-d\alpha )^{2}+(dy-d\beta )^{2}+(dz-d\gamma )^{2}}},$

on aura, dans ce cas,

$\delta r={\frac {dx-d\alpha }{d\sigma }}\delta x+{\frac {dy-d\beta }{d\sigma }}\delta y+{\frac {dz-d\gamma }{d\sigma }}\delta z.$

À l’égard de la résistance $\mathrm {R} ,$ elle est ordinairement une fonction de la vitesse ${\frac {ds}{dt}}\,;$ mais, dans le cas où le milieu est en mouvement, elle sera fonction de la vitesse relative ${\frac {d\sigma }{dt}}.$

De cette manière, on pourra appliquer nos formules générales aux mouvements qui se font dans des milieux résistants, sans avoir besoin d’aucune considération particulière à ces sortes de mouvements.

9. Il est important de remarquer que l’expression

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z,$