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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

ner les deux autres intégrales doubles

_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz\quad {\text{et}}\quad$_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz$

à la forme _S$\lambda \delta y\,dx\,dz,$ _S$\lambda \delta x\,dy\,dz.$

Ainsi l’équation aux limites dont il s’agit pourra se mettre sous cette forme

_S$\lambda \,\delta z\,dx\,dy+$_S$\lambda \,\delta y\,dx\,dz+$_S$\lambda \,\delta z\,dy\,dx,$

qu’on peut encore réduire, par l’analyse de l’article 33, à celle-ci

_S$\lambda (\cos \alpha \,\delta x+\cos \beta \,\delta y+\cos \gamma \,\delta z)ds^{2}=0,$

dans laquelle $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ sont les angles que le plan tangent à la surface, dans le point qui répond aux coordonnées $x,y\,,\,z,$ fait avec les trois plans des $yz,$ des $xz$ et des $xy.$ L’intégration de cette équation devra s’étendre à toute la surface du fluide ; et les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ seront censées toutes dirigées du dedans de la masse fluide au dehors.

39. Dans les points où la surface est libre, les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ demeurant indéterminées, on ne peut satisfaire à l’équation qu’en faisant $\lambda =0,$ ce qui donnera la figure de cette surface, comme nous l’avons vu dans l’article 18.

Pour tous les autres points de la surface où le fluide est contigu aux parois du vase, si l’on marque d’un trait les quantités qui s’y rapportent, on aura, relativement à ces parois, la même équation qu’on a trouvée par rapport à la surface du noyau recouvert d’un fluide (art. 30). Ainsi, toutes les conclusions qu’on a tirées de cette équation, depuis l’article qu’on vient de citer jusqu’à la fin du paragraphe précédent, peuvent s’appliquer aux parois du vase dans lequel le fluide est renfermé, quelle que soit sa figure, et soit qu’il demeure fixe, ou qu’il doive être en équilibre par la pression du fluide et par l’action des forces étrangères qui le tirent dans des directions quelconques.