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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et, comme les valeurs de $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta$ (art. 33) sont respectivement indépendantes de $x,\,y,\,z,$ on aura aussi

$\Gamma \mathrm {X} \delta \xi ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta \xi ,\quad \Gamma \mathrm {Y} \delta \eta ={\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta \eta ,\quad \Gamma \mathrm {Z} \delta \zeta ={\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta \zeta \,;$

ainsi la première équation deviendra

_S$\left({\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta \xi +{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta \eta +{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta \zeta \right)dx\,dy\,dz=0.$

Le premier terme sous le signe est intégrable par rapport à $x,$ le deuxième par rapport à $y,$ le troisième par rapport à $z\,;$ donc, si l’on exécute ces intégrations partielles, comme on l’a fait dans l’article 17, il en résulte l’équation aux limites

_S$\lambda ''(\delta \xi ''dy\,dz+\delta \eta ''dx\,dz+\delta \zeta ''dx\,dy)$

$-$_S$\lambda '\ (\delta \xi '\ dy\,dz+\delta \eta '\ dx\,dz+\delta \zeta '\ dx\,dy)=0.$

Mais on a (art. 23)

$\lambda ''=0$

à cause que la surface extérieure du fluide est supposée libre ; donc il ne restera que l’équation

_S$\lambda '(\delta \xi 'dy\,dz+\delta \eta 'dx\,dz+\delta \zeta 'dx\,dy)=0.$

Ainsi les deux équations reviennent exactement au même.

37. Puisque, relativement aux variations dépendantes du déplacement du noyau, on peut regarder le fluide qui le recouvre comme s’il ne faisait qu’une masse solide avec lui, lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n’y aura qu’à tenir compte de ces forces, comme de celles qui sollicitent les particules du fluide, et appliquer à l’équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu’un solide continu, les solutions données dans le Chapitre IV de la Section V.