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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

qu’elles ne donnent rien dans les valeurs des différences partielles ${\frac {d\,\delta x}{dx}},{\frac {d\,\delta y}{dy}},$ ${\frac {d\,\delta z}{dz}},$ puisque les variations $\delta l,\,\delta m,\,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N}$ sont censées indépendantes de $x,y,z.$

Ainsi il suffira de substituer $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta$ à la place de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ dans la formule

_S

(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)\Gamma dx\,dy\,dz

et d’égaler séparément à zéro les quantités multipliées par chacune des six variations $\delta l,\,\delta m,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N}$ après les avoir fait sortir hors du signe _S. Il est visible qu’on aura de cette manière les mêmes équations qu’on a trouvées dans la Section V (Chap. IV), pour l’équilibre d’un corps solide dont chaque particule $d\mathrm {m} ,$ qui est ici $\Gamma dx\,dy\,dy,$ est animée par des forces quelconques $\mathrm {X,\,Y,\,Z} \,;$ de sorte que l’on a, pour l’équilibre d’un fluide sur un noyau mobile, les mêmes équations que si le fluide devenait solide.

36. Il résulte de ces deux manières d’envisager les variations que la pression du fluide sur la surface du noyau équivaut à l’action de toutes les forces qui sollicitent chaque particule du fluide, en supposant que le fluide soit considéré comme solide et que le noyau soit augmenté de toute la masse du fluide devenu solide.

Comme ce théorème de Statique est important, nous croyons devoir montrer d’une manière plus directe comment il se déduit de nos formules.

Tout se réduit à démontrer que l’équation

_S

(\mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\eta +\mathrm {Z} d\zeta )\Gamma dx\,dy\,dy=0

donne les mêmes résultats que l’équation aux limites

_S

\lambda '(\delta \xi 'dy\,dz+\delta \eta 'dx\,dz+\delta \zeta 'dx\,dy)=0.

Par les conditions de l’équilibre du fluide, on a (art. 19)

\Gamma \mathrm {X} ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad \Gamma \mathrm {Y} ={\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\qquad \Gamma \mathrm {Z} ={\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\,;