Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/244

226

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

La partie qui contient les variations $\delta \mathrm {x',\,\delta y',\,\delta z'}$ est nulle d’elle-même, comme nous l’avons démontré dans l’article 31. L’autre partie du premier membre de l’équation devra donc aussi être nulle. On y substituera les valeurs de $\delta \xi ',\,\delta \eta ',\,\delta \zeta ',$ et l’on égalera ensuite séparément à zéro les quantités multipliées par $\delta l,\,\delta m,\,\delta n,$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N} \,;$ on aura ces six équations

_S$\lambda '\cos \alpha ds^{2}=0,\quad$_S$\lambda '\cos \beta ds^{2}=0,\quad$_S$\lambda '\cos \gamma ds^{2}=0,$

_S$\lambda '(y'\cos \gamma -z'\cos \beta )ds^{2}=0,$

_S$\lambda '(z'\cos \alpha -x'\cos \gamma )ds^{2}=0,$

_S$\lambda '(x'\cos \beta -y'\cos \alpha )ds^{2}=0,$

qui seront nécessaires pour l’équilibre complet du fluide et du solide.

Ces équations répondent à celles de l’article 62 de la Section V, en substituant $ds^{2}$ pour $d\mathrm {m}$ et $\lambda '\cos \alpha ,$ $\lambda '\cos \beta ,$ $\lambda '\cos \gamma$ pour $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$ En effet, $\lambda '$ étant la force de pression qui agit perpendiculairement sur la surface du noyau solide, $\lambda '\cos \alpha ,$ $\lambda '\cos \beta ,$ $\lambda '\cos \gamma$ seront les forces qui en résultent, suivant les directions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ et il faudra que le solide soit en équilibre, chacun des points de sa surface étant sollicité par ces mêmes forces.

35. Mais, lorsqu’un fluide est supporté par un solide de figure donnée, et que l’un et l’autre sont sollicités par des forces quelconques, il est plus simple de tirer directement la solution du problème de l’équation fondamentale de l’article 16, en y substituant immédiatement, pour $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ leurs valeurs complètes $\delta \mathrm {x} +\delta \xi ,$ $\delta \mathrm {y} +\delta \eta ,\,\delta \mathrm {z} +\delta \zeta$ (art. 33).

Les variations $\delta \mathrm {x} ,\,\delta \mathrm {y} ,\,\delta \mathrm {z} ,$ étant indépendantes des autres variations $\delta l,\delta m,\ldots ,$ donneront une équation semblable à celle de l’article 17 et fourniront les mêmes résultats pour l’équilibre du fluide que dans le cas où le solide est supposé fixe.

À l’égard des autres variations, $\delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta ,$ il est d’abord aisé de voir