Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/242

224

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

32. Soit $p'$ une ligne perpendiculaire à la surface dans le point auquel répondent les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ et terminée à un point fixe. Puisque $\alpha '$ est l’angle que le plan tangent fait avec le plan des $yz,$ ce sera aussi l’angle que la perpendiculaire $p'$ à ce plan fait avec l’axe des $x,$ qui est perpendiculaire au même plan des $yz.$ De même, $\beta '$ sera l’angle de cette perpendiculaire avec l’axe des $y$ et $\gamma '$ sera l’angle de la même perpendiculaire avec l’axe des $z.$ Donc, quelles que soient les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ on aura, en général, par l’article 7 de la Section II, en changeant $d$ en $\delta ,$

$\delta p'=\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z'\,;$

et l’équation de l’article 30, relative à la surface du fluide, pourra se mettre sous la forme

_S$\lambda '\delta p'ds^{2}=0,$

où l’on voit que chaque élément $\lambda 'ds^{2}\delta p'$ de cette intégrale représente le moment d’une force $\lambda 'ds^{2}$ appliquée à l’élément $ds^{2}$ de la surface et dirigée suivant la perpendiculaire $p'$ à cette surface, de sorte que l’intégrale _S$\lambda '\delta p'ds^{2}$ représentera la somme des moments de toutes les forces $\lambda '$ appliquées à chaque point de la surface et agissant perpendiculairement à cette surface.

Cette force égale à $\lambda '$ est évidemment la pression exercée par le fluide sur la surface du noyau, et qui est détruite par la résistance du noyau. Mais on peut, en général, réduire à la forme _S$\lambda \delta pds^{2}$ tous les termes de l’équation aux limites qui se rapportent à la surface du fluide, soit que cette surface soit libre ou non ; et il est évident que la pression $\lambda$ doit être nulle dans tous les points où la surface est libre ; ce que nous avons déjà trouvé d’une autre manière (art. 18).

33. Si le noyau recouvert par le fluide était mobile, alors il faudrait augmenter les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ des variations dépendantes du changement de position du noyau.

Pour distinguer ces différentes variations, nous désignerons par $\mathrm {\delta x,\,\delta y,\,\delta z}$ les variations dues simplement au déplacement des particules