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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

Par ces transformations l’équation aux limites deviendra enfin

_S$\lambda '(\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z')ds^{2}=0,$

l’intégrale devant s’étendre sur toute la surface du fluide contigu au noyau.

31. Supposons que la figure de cette surface soit représentée par l’équation différentielle

$\mathrm {A} dx'+\mathrm {B} dy'+\mathrm {C} dz'=0.$

En nommant $\alpha ',\beta ',\gamma '$ les angles que le plan tangent fait avec les plans des $xy,$ des $xz$ et des $yz,$ on a, par la théorie des surfaces,

${\begin{aligned}\cos \alpha '=&\mathrm {\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\\\cos \beta '=&\mathrm {\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\\\cos \gamma '=&\mathrm {\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} .\end{aligned}}$

Donc l’équation de l’article précédent, relative à la surface, deviendra

_S$\left[\lambda '{\frac {\mathrm {A} \delta x'+\mathrm {B} \delta y'+\mathrm {C} \delta z'}{\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} }}\right]ds^{2}=0.$

Comme cette surface est donnée de figure et de position, les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z'$ des coordonnées des particules qui y sont contiguës doivent avoir entre elles une relation dépendante de l’équation de la même surface ; ainsi, ayant supposé cette équation

$\mathrm {A} dx'+\mathrm {B} dy'+\mathrm {C} dz'=0,$

on aura aussi nécessairement

$\mathrm {A} \delta x'+\mathrm {B} \delta y'+\mathrm {C} \delta z'=0,$

ce qui satisfait à l’équation aux limites de l’article précédent, sans qu’il en résulte aucune nouvelle équation.