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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

pendent des termes de l’équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles.

Ces termes donnent cette équation aux limites

_S$\lambda ''(\delta x''dy\,dz+\delta y''dx\,dz+\delta z''dx\,dy)$

$-$_S$\lambda '\ (\delta x'\ dy\,dz+\delta y'\ dx\,dz+\delta z'\ dx\,dy)=0,$

laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contigu au solide.

28. Considérons d’abord le cas d’une masse fluide dont la surface extérieure est libre, et qui environne un noyau solide fixe de figure quelconque.

En prenant l’origine des coordonnées dans un point de l’intérieur du noyau, les quantités marquées d’un trait se rapporteront à la surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rapporteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi l’on aura d’abord, pour tous les points de cette surface, l’équation $\lambda ''=0,$ laquelle donne, comme on l’a déjà vu plus haut (art. 19),

_S$\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=\mathrm {K} ,$

pour la figure de cette surface.

Il ne restera donc à vérifier que l’équation

_S$\lambda '(\delta x'dy\,dz+\delta y'dx\,dz+\delta z'dx\,dy)=0,$

dont tous les termes se rapportent à la surface du noyau.

29. Comme l’intégration de ces termes est relative aux coordonnées dont les différentielles entrent dans l’expression des éléments superficiels $dx\,dy,$ $dx\,dy,$ $dy\,dz,$ il faut commencer par réduire ces éléments à une même forme ; ce qu’on peut obtenir en les rapportant à l’élément de la surface auquel ils répondent.

Désignons par $ds^{2}$ l’élément de la surface qui répond à l’élément