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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

lesquelles donnent $\mathrm {B=C} ,$ parce que les quantités $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ sont^[1] des fonctions semblables de $\mathrm {B,\,C}$ et de $\mathrm {C,\,B} \,;$ elles se réduisent ainsi à une seule, qui sert à déterminer le rapport de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B} .$

Ce cas est, jusqu’à présent, le seul pour lequel on ait trouvé une solution rigoureuse qu’on doit à Maclaurin ; de sorte que le problème de la figure de la Terre, envisagé physiquement, n’est résolu exactement qu’en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent, en faisant

$\Gamma =1,\qquad \Gamma '=0,\qquad g=h=\mathrm {\frac {f}{A}} \qquad {\text{et}}\qquad e=i,$

celle-ci :

${\frac {2\mathrm {m} e^{2}}{5\mathrm {A} ^{4}}}-\mathrm {f} =0.$

Si l’on compare la force centrifuge à la gravité prise pour l’unité, laquelle est, aux quantités $e^{2}$ près, $\mathrm {\frac {m}{A^{2}}} ,$ il n’y aura qu’à faire $\mathrm {\frac {m}{A^{2}}} =1,$ et l’on aura

${\frac {2e^{2}}{5\mathrm {A} ^{2}}}=\mathrm {f} =2\mathrm {\frac {B^{2}-A^{2}}{5A^{2}}} \,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {\frac {B}{A}} ={\sqrt {1+{\frac {5\mathrm {f} }{2}}}}.$

Or on a $f={\frac {1}{288}}\,;$ donc $\mathrm {\frac {B}{A}} ={\frac {231}{230}}$ à très-peu près, comme on le sait depuis longtemps.

§ III. — De l’équilibre d’une masse fluide avec un solide qu’elle recouvre.

27. Les lois particulières de l’équilibre d’un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quelconques, dé-

1. En examinant ces équations de plus près, on voit qu’elles admettent une autre solution, et qu’un ellipsoïde à trois axes inégaux peut y satisfaire. Cette remarque est de Jacobi ; elle a été développée par M. Liouville (Journal de l’École Polytechnique, t. XIII). Voir une Note à la fin du volume. (J. Bertrand.)