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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

la première équation, et rejetant toujours les termes qui contiendraient $e^{4},\,i^{4},\,e^{2}i^{2},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}&{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{\mathrm {A} }}-{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5\mathrm {A} ^{3}}}+{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2}}\\&\qquad +\left[3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+{\frac {g}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {B} ^{2}}}-{\frac {(\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} ')e^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}\right]y^{2}\\&\qquad +\left[3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}\ +{\frac {h}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {C} ^{2}}}-{\frac {(\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} ')i^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}\right]z^{2}=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Cette équation devant être identique, il faudra que les coefficients des quantités variables $y^{2}$ et $z^{2}$ soient nuls, ce qui donnera les deux équations

${\begin{aligned}{\frac {3\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}-{\frac {2\Gamma \mathrm {m} +5\Gamma '\mathrm {m} '}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+\ {\frac {g}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {B} ^{2}}}=&0,\\{\frac {3\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}-{\frac {2\Gamma \mathrm {m} +5\Gamma '\mathrm {m} '}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+{\frac {h}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {C} ^{2}}}=&0,\end{aligned}}$

qui serviront à déterminer les deux excentricités $e$ et $i$ de la surface elliptique de la mer.,

25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle à sa distance de l’axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc, si l’on prend l’axe $2\mathrm {A} ,$ qui est aussi l’axe des coordonnées $x,$ pour l’axe de rotation, et que $\mathrm {f}$ soit la force centrifuge à la distance $\mathrm {A}$ de l’axe, on aura ${\frac {\mathrm {f} u}{\mathrm {A} }}$ pour la force centrifuge d’un point quelconque du sphéroïde, en faisant $u={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\,;$ cette force, étant dirigée suivant la ligne $u$ et tendant à l’augmenter, donnera le moment $-{\frac {\mathrm {f} u\,du}{\mathrm {A} }},$ dont l’intégrale $-{\frac {\mathrm {f} u^{2}}{2\mathrm {A} }},$ savoir $-{\frac {\mathrm {f} (y^{2}+z^{2})}{2\mathrm {A} }},$ devra être ajoutée à la quantité $\Sigma ,$ pour avoir égard à l’effet de la force centrifuge. Ainsi on aura les conditions de l’équilibre de la mer, en vertu de l’attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la Terre, et de la force centrifuge due à la rotation de la Terre, en faisant dans les deux équations précédentes $f=0,$ $g=\mathrm {\frac {f}{A}} ,$ $h=\mathrm {\frac {f}{A}} .$