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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

les quantités marquées d’un trait se rapportent au commencementde l’intégration, et celles qui en ont deux se rapportent aux points où elle finit, suivant la notation adoptée dans l’endroit cité. Ainsi la quantité dont il s’agit se trouvera changée en celle-ci

_S$dy\,dz(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')-$_S$dy\,dz$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta x\,dx,$

ou, ce qui est la même chose,

_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz-$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta x\,dx\,dy\,dz.$

De la même manière et par un raisonnement semblable, on changera les quantités

_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dx\,dy\,dz,\quad {\text{et}}\quad$_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}dx\,dy\,dz,$

en celles-ci

_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz-$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta y\,dx\,dy\,dz$

et

_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy-$_S${\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta z\,dx\,dy\,dz.$

Faisant ces substitutions, on aura donc, pour l’équilibre de la masse fluide, cette équation générale

_S$\left[\left(\Gamma \mathrm {X} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\right)\delta x+\left(\Gamma \mathrm {Y} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)\delta y+\left(\Gamma \mathrm {Z} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\right)\delta z\right]dx\,dy\,dz$

$+$_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz$

$+$_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz+$_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy=0,$

dans laquelle il n’y aura plus qu’à égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées $\delta x,\delta y,\delta z$ (sect. IV, art. 16).

18. On aura donc d’abord ces trois équations

$\Gamma \mathrm {X} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,\qquad \Gamma \mathrm {Y} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=0,\qquad \Gamma \mathrm {Z} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0,$

lesquelles doivent avoir lieu pour tous les points de la masse fluide.