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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

parallélépipède n’est qu’infiniment petit et n’influe point dans la valeur de sa solidité, il s’ensuit que, sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ soient simplement fonctions de $x,$ de $y$ et de $z,$ comme nous l’avons fait dans l’article 31 de la Section IV.

16. Ayant ainsi la vraie valeur de $(dx\,dy\,dz),$ on la prendra pour celle de $\delta \mathrm {L}$ et l’on aura

$\delta \mathrm {L} =dx\,dy\,dz\left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right).$

On substituera donc cette valeur dans l’équation générale de l’article 10, et mettant en même temps pour $d\mathrm {m}$ sa valeur $\Gamma dx\,dy\,dz,$ on aura l’équation

_S$\left[\Gamma (\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)+\lambda \left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right)\right]dx\,dy\,dz=0,$

et il ne s’agira plus que d’y faire disparaître les doubles signes $d\delta$ par la méthode exposée dans le § II de la Section IV.

17. Considérons d’abord la quantité

_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\,dy\,dz,$

où le signe _S dénote une triple intégrale relative à $x,\,y,\,z\,;$ il est clair que, comme la différence de $\delta x$ n’est relative qu’à la variation de $x,$ il ne faudra aussi pour la faire disparaître qu’avoir égard à l’intégration relative à $x\,;$ c’est pourquoi on donnera d’abord à cette quantité la forme

_S$dy\,dz$_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx,$

ensuite on transformera l’intégrale simple

_S$\lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\qquad$en$\qquad \lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x'-$ _S ${\frac {\partial \,\lambda }{\partial x}}\delta x\,dx\,;$